Integrar

Question

¿Cómo calcular$\int r^n \sin r\, dr, n\in \Bbb Z$? De hecho, realmente necesito 10 puntos de reputación para hacer una pregunta compleja.

Answer 1

use la serie taylor de$\sin r$ para obtener$$r^n(r-\frac{r^3}{3!}+\frac{r^5}{5!}-....)=r^{n+1}-\frac{r^{3+n}}{3!}+\frac{r^{5+n}}{5!}-....$ $

Answer 2

Diga$$I_n=\int r^n \sin r \,\ dr$ $$$=-r^n \cos r + n \int r^{n-1} \cos r \,\ dr$ $$$=-r^n \cos r + nr^{n-1} \sin r - n(n-1)\int r^{n-2} \sin r \,\ dr$ $$$=-r^n \cos r + nr^{n-1} \sin r - n(n-1)I_{n-2}$ $ Así obtendrá esta relación de recursión$$I_n+ n(n-1)I_{n-2}=-r^n \cos r + nr^{n-1} \sin r $$ which you can solve easily after calculating $ I_0$ and $ I_1 $.

Answer 3

Puedes usar la serie de Taylor para transformar esta ecuación. Entonces puedes integrar esta integral mucho más fácil.