Demostrar que si $f: \mathbb{R} \to \mathbb{Q}$ es continua, entonces $f$ es constante

Question

Supongamos que $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua y que $f(x) \in \mathbb{Q}$ para todos $x \in \mathbb{R}$ . Demuestra que f es constante.

Tengo la idea de que como hay un número irracional entre dos números racionales cualesquiera, si la función es continua, la función debe ser constante. Pero no sé cómo escribir una prueba adecuada para ello.

Se agradece cualquier ayuda. Gracias de antemano.

Answer 1

Puedes utilizar el teorema del valor intermedio. Supongamos que $f(x_1) = q_1$ y $f(x_2) = q_2$ . Porque $f$ es continua, por el teorema del valor intermedio, $f$ toma todos los valores entre $q_1$ y $q_2$ . Si $q_1 \ne q_2$ entonces uno de estos valores es irracional, lo cual es imposible, así que $q_1 = q_2$ . Por lo tanto, para todos los $x_2$ , $f(x_2) = f(x_1)$ - en otras palabras, $f$ es constante.

Answer 2

Desde $f$ es continua y $\mathbb{R}$ está conectado, entonces $f(\mathbb{R})$ está conectado. Como los únicos subconjuntos conexos no vacíos de $\mathbb{Q}$ son puntos únicos, debemos tener que $f$ es constante.

Answer 3

Al contrario, se supone que $f$ no es constante, así que sin perder de vista lo general suponemos que $f$ tiene dos valores $x_{0},x_{1}\in Q$ tal que $x_{0}\neq‎x_{1}$ Por lo tanto $\{x_{0}\}$ y $\{x_{1}\}$ hacer desconexión para $f(R)$ Esto es una contradicción, ya que $f(R)$ está conectado