Dado que$X$ compacto y Hausdorff,$C$ un componente de$X$, y$U$ conjunto abierto que contiene$C$, muestra que$\exists V$ se abre de forma tal que$C\subset V\subset U$

Question

Pregunta

Yo estoy luchando con los siguientes:

Deje $C$ ser conectado a un componente de un compacto Hausdorff espacio de $X$ y deje $U$ ser un conjunto abierto que contiene a $C$. Demostrar que existe un clopen set $V$ tal que $C\subset V\subset U$.

Creo que tengo una solución, pero lo que he "probado" es más fuerte: que $C$ debe ser en sí misma clopen, por lo $C$ sí puede funcionar como el deseado $V$.

Intento

Deje $\{C_{\alpha}\,|\,\alpha\in A\}$ ser la colección de componentes en $X$. Desde $X$ es normal (compacto y Hausdorff implica normal) y cada una de las $C_{\alpha}$ está cerrado, se puede encontrar una colección de distintos bloques abiertos $\mathcal{U}:=\{U_{\alpha}\,|\,\alpha\in A\}$ tal que $C_{\alpha}\subseteq U_{\alpha}$ por cada $\alpha\in A$. Ahora $\mathcal{U}$ es una cubierta abierta de a $X$, por lo que a través de la compacidad existe un número finito de subcover, $\mathcal{U}_0=\{U_{\alpha_1},U_{\alpha_2},\ldots \}\subseteq\mathcal{U}$. De ello se desprende que hay un número finito de componentes de $X$ y por lo tanto, cada componente está abierto: dado $C_{\alpha_i}$, vemos que $$ X-C_{\alpha_i}=C_{\alpha_1}\cup\cdots\copa C_{\alpha_{i-1}}\cup C_{\alpha_{i+1}}\cup\cdots\copa C_{\alpha_n}, $$ que es la unión finita de conjuntos cerrados.

Es esto correcto o he hecho un grave error? Si he cometido un error de hecho, podría alguien me apunte en la dirección correcta? También, pedimos disculpas por las frecuentes publicaciones, tengo un examen de calificación en una semana y he de estudiar mucho últimamente.

Edit 1: debo agregar que esta es la segunda parte de una pregunta de dos partes. La primera parte fue mostrando que los componentes y cuasi-componentes coinciden.

Edit 2: también vale la pena señalar que no estoy muy seguro de si "$\subset$" significa un subconjunto o no en el enunciado del problema (esta fue una pregunta tomada de un antiguo examen de calificación y no estoy muy seguro de quién lo escribió). Sin embargo, si se tratara de un subconjunto, entonces creo que lo que yo podía pensar de un contraejemplo a la declaración. (Estoy pensando en dos cerrados disjuntos discos en $\mathbb{R}^2$ cuando la $C$ está abierto de los discos y $U$ es uno de los discos en unión con algún conjunto abierto estrictamente contenida en el otro disco cerrado.)

Answer 1

La respuesta por user254665 muestra donde se extravió.

SUGERENCIA: Usted sabe de la primera parte en la que $C$ es el quasicomponent de $x$. (También hay una prueba aquí.) Ahora uso el hecho de que el quasicomponent de un punto es la intersección de todos los clopen conjuntos que contengan $x$. (Si este no es tu definición de quasicomponent, tendrás que demostrar que se desprende de su definición). Por lo tanto, si $\mathscr{H}$ es la familia de todos los clopen conjuntos que contengan $C$,$C=\bigcap\mathscr{H}$.

Para cada una de las $H\in\mathscr{H}$ deje $\widehat H=X\setminus H$. Para cada una de las $y\in X\setminus U$ hay un $H_y\in\mathscr{H}$ tal que $y\in \widehat{H_y}$. Claramente $\{\widehat{H_y}:y\in X\setminus U\}$ es un abierto de la cubierta del conjunto compacto $X\setminus U$, por lo que ... ? En caso de que estés completamente atascado, he completado la respuesta en el spoiler bloque protegido a continuación.

Así que hay un número finito de $\mathscr{F}\subseteq\mathscr{H}$ tal que $\{\widehat H:H\in\mathscr{F}\}$ cubre $X\setminus U$. Pero, a continuación, $\bigcap\mathscr{F}$ es un clopen nbhd de $C$$U$.

(Las inclusiones en la pregunta no son estrictas, es decir, lo que debo escribir $\subseteq$.)

Answer 2

El subespacio real$X=\{0\}\cup\{1/n: n\in N\}$ es compacto Hausdorff. Los subespacios conectados máximos de$X$ son$\{\{p\}: p\in X\}$ y hay infinitos de ellos, y uno de ellos,$\{0\},$ no está abierto.

Su error es suponer que cualquier familia$F= \{C_a\}_{a\in A}$ de subconjuntos cerrados desunidos por pares puede estar completamente separada. El problema es que algunos$C_a$ pueden no ser ajenos al cierre del conjunto$\cup (F$ \$\{C_a\}).$

Estoy trabajando en una prueba. Pensé que lo tenía pero no lo tenía.