Buscando múltiples soluciones para mostrar a mis alumnos.

Question

Sea ABC un triángulo rectángulo con B el ángulo correcto. X, Y y Z están en BC, CA y AB respectivamente, de modo que BXYZ es un cuadrado. Si el cuadrado tiene una longitud de lado m, AY = r y YC = s, encuentre m en términos de r y s.

Tengo dos soluciones para mis alumnos (instruyo a una clase del equipo de matemáticas): una involucra proporciones y la otra involucra el teorema de bisectriz de ángulo (BY es una bisectriz de ángulo). Solo tengo curiosidad de que haya otras soluciones creativas para este problema.

Answer 1

Dejar $\theta=\angle ZYA=\angle XCY$. Entonces y $\cos\theta=\frac{m}{r}$. Resulta que $\sin\theta=\frac{m}{s}$.

Answer 2

Describe este en los comentarios, así que tal vez lo han hecho, pero circunscribir el círculo a través de $\rm ABC$ con el centro en $\rm O$ ($\rm AC$desde $\angle\rm B$ es un ángulo recto) y extender $\rm BY$ para satisfacer el círculo de nuevo en $\rm M$.

A continuación, $\angle \mathrm{AOM}=2\angle\mathrm{ABM}$ es un ángulo recto. Wlog asumo $\rm AB > BC$$s>r$. Así $\mathrm{OM}=\mathrm{AO}=(s+r)/2$, $\mathrm{OY}=(s-r)/2$. Entonces por el teorema de Pitágoras $|\mathrm{YM}|^2=(s^2+r^2)/2$, y por la intersección de los acordes teorema de $$ \mathrm{POR}\cdot\mathrm{YM} = \mathrm{CY}\cdot\mathrm{YA} \\ \sqrt{2}m\cdot \sqrt{(s^2+r^2)/2} = r\cdot s \\ m = \frac{rs}{\sqrt{s^2+r^2}} $$

Answer 3

La solución para alguien que realmente prefiere álgebra a la geometría:

Vamos $AZ=p$, $XC=q$. Entonces el teorema de Pitágoras nos dice que \begin{eqnarray} p^2+m^2&=&r^2\\ q^2+m^2&=&s^2\\ (p+m)^2+(q+m)^2&=&(r+s)^2 \, . \end{eqnarray} Restando las dos primeras ecuaciones a partir de la tercera y la simplificación de los rendimientos $p+q=\frac{rs}{m}$, mientras que restando la segunda ecuación de la primera rendimientos $p^2-q^2=r^2-s^2$. Por lo $p-q=\frac{m}{rs}(r^2-s^2)$, y por lo tanto $$p=\frac{1}{2}\left(\frac{mr}{s}+\frac{rs}{m}-\frac{ms}{r}\right) \, .$$ Sustituyendo este valor en la primera relación de Pitágoras, tenemos $$\frac{1}{4}\left(\frac{m^2r^2}{s^2}+\frac{r^2s^2}{m^2}+\frac{m^2s^2}{r^2}+2r^2-2s^2-2m^2\right)+m^2-r^2=0 \\ \frac{1}{4}\left(\frac{m^2r^2}{s^2}+\frac{r^2^2}{m^2}+\frac{m^2^2}{r^2}-2r^2-2s^2+2m^2\right)=0 \\ \left(\frac{mr}{s}-\frac{rs}{m}+\frac{ms}{r}\right)^2=0 \, ;$$ aislar $m$ da $$m^2=\frac{rs}{\frac{r}{s}+\frac{s}{r}} \, .$$

Answer 4

Gire el triángulo$XYC$ por$90$ grados sobre$Y$ de tal manera que haga que$XY$ coincida con$YZ$. Esto da un nuevo triángulo rectángulo; sus patas tienen una longitud$r$ y$s$, y la altitud a su hipotenusa tiene una longitud$m$. Entonces, el área de este triángulo es$\frac{1}{2}rs=\frac{1}{2}m\sqrt{r^2+s^2}$.