Se me pide para determinar si es o no una función puede tener todas sus derivadas parciales existen en un punto, pero a no ser continua en ese punto. He intentado construir un contraejemplo, pero no estoy seguro de si estoy o no han tenido éxito.
Considere la siguiente función:
$$ f(x,y) = \left\{ \begin{array}{cc} x & y=0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{array}\right. $$
Deje $(x_0,y_0) \not= 0$, entonces podemos calcular los parciales de $f$ en este punto. Hacerlo no es difícil, sólo tenemos que asegurarnos de que estamos cuidadoso acerca de los parciales con respecto a $y$.
$$ \begin{align*} f_x(x_0,y_0) &= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h} \\ \text{if %#%#%} & \implies \lim_{h\rightarrow 0} \frac{x_0+h-x_0}{h} = 1 \\ \text{if %#%#%} &\implies \lim_{h\rightarrow 0} \frac{0}{h} = 0 \\ f_y(x_0,y_0) &= \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h} \\ \text{if %#%#%} &\implies \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x_0-x_0}{h} = 0 \\ \text{if %#%#%} &\implies \lim_{h\rightarrow 0} \frac{0}h = 0 \end{align*} $$
En todos estos casos los parciales de $y_0=0$ existen, sin embargo, está claro que para $y_0\not=0$ tendremos que $y_0=0$ no es continua en a $y_0\not=0$. Porque a lo largo de cualquier camino donde $f$ tendremos que el límite es de $x_0\not=0$, pero a lo largo de la ruta de $f$ obtenemos el límite de $(x_0,0)$. Por lo $y\not=0$ no es continua, sino que sus parciales existe.
Es esta una válida de la construcción? Se sentía tipo de pescado, cualquier consejo se agradece.
