Demostrar que si$n \in \mathbb{N}^*$ y$t_1, t_2, t_3,..., t_n \in \mathbb{R}_+^*$ satisfacen ...

Question

He estado luchando durante unos 5 días para resolver este problema, pero, hasta ahora, ni siquiera tengo un punto de partida. ¿Podría darme una pista o decirme cómo lo abordaría?

Answer 1

Denote:$S_a=\sum\limits_{k=1}^{n}t_k^a$, para$a \in \{-1,1,2\}$

Dado:$S_2S_{-1}=2S_1,S_1S_{-1}=\frac{3n^2}{2}$ y$H(t_1,t_2,...t_n)=\frac{n}{S_{-1}}$

Necesitamos mostrar que:$$\sum^{n}_{k=1} \frac{t_k^3}{S_2-t_k^2} \geq \frac{n^2}{2S_{-1}}$ $ Tenemos:$$\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{t_k^3}{S_2-t_k^2}=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{t_k^2}{\frac{S_2}{t_k}-t_k} \geq \frac{\bigg( \sum\limits_{k=1}^{n} t_k\bigg)^2}{\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{S_2}{t_k}-\sum\limits_{k=1}^{n}t_k}$ $$$=\frac{S_1^2}{S_2S_{-1}-S_1} =\frac{S_1^2}{2S_1-S_1}=S_1>\frac{S_1}{3}=\frac{n^2}{2S_{-1}}$ $