insertando valor absoluto en la transformada de Hilbert y una versión discreta de la transformada de Hilbert

Question

Es bien sabido que la transformada de Hilbert$H(f)(x)=p.v. \int\frac{f(x-y)}{y}dy$ está delimitada en$L^p(\mathbb{R})$ para$p\in(1,\infty)$. Quiero considerar algunas variantes de$H$.

1) ¿Qué pasa si intersectamos valor absoluto? Es decir, considere$\bar{H}(f)(x)=p.v. \int|\frac{f(x-y)}{y}|dy$. ¿Tiene sentido$\bar{H}$ y satisface las propiedades de delimitación?

2) Considere la versión discreta de$H$ definida por$H_df(n)=\sum_{m\neq0}\frac{f(n-m)}{m}$. ¿Está$H_d$ limitado en$l^p$ para algunos$p$? No puedo encontrar ninguna referencia (libro de texto o papel) en este operador aparentemente natural.

Answer 1

Como de (2), mirar la Proposición 1.3 de: M. J. Marsden, F. B. Richards, y S. D. Riemenschneider, el Cardenal spline de interpolación de operadores en $\ell_p$ de los datos, Indiana Univ. De matemáticas. J. 24(1975), 677-689; fe de Erratas, ibid., 25(1976), 919. El resultado de esto es que es limitado en $\ell_p$ por cada $1<p<\infty$.

Para (1), no te puedo dar una prueba en el momento, pero creo que la versión discreta de $\overline{H}$ no es necesariamente limitada en $\ell_2$. Usted puede encontrar esto en Hardy libro "Desigualdades" justo antes de la Sección 8.13 (que es la p.214 en la versión que yo tengo). Él considera que la forma bilineal $$\sum_{i}\sum_{j\neq i}\frac{x_iy_j}{|i-j|},$$ y se muestra que, para $$x_i = y_i = i^{-1/2}(log\; i)^{-1},\quad i>1$$ and $x_1=y_1=x_2$, the sum in the display is divergent, and so the bilinear form is not $\ell_2\a\ell_2$ limitada. Por otro lado, si usted toma el valor absoluto, la forma correspondiente es limitada, aunque es más difícil de demostrar.

Si la versión discreta es ilimitado, entonces yo diría que es una buena razón para sospechar que el continuo de la versión que usted menciona es ilimitado así.