¿Cómo se comporta$e^{-W_{-1}(-\ln(x))}$ para$x\rightarrow 1$?

Question

El número$$y:=e^{-W_{-1}(-\ln(x))}$$ for $$1< x< e^{e^{-1}}$$ is the solution of the equation $ x ^ y = y$ with $ y> e $

¿Cómo se comporta la función$f(x)=e^{-W_{-1}(-\ln(x))}$ para$x\approx 1$? En otras palabras, ¿cómo puedo aproximar la solución mayor de$x^y=y$ para$x>1$ y$x\approx 1$?

Una aproximación muy cruda parece ser$$\frac{1}{x-1}\ln(\frac{1}{x-1})$ $ pero seguramente hay una mejor aproximación asintótica.

Answer 1

Algunas notas:

\begin{align} e^{- W_{-1}(-\ln(x))} &= \frac{W_{-1}(- \ln(x))}{- \ln(x)} \\ &\approx - \frac{\ln(\ln(x))}{\ln(x)} + \frac{\ln(- \ln(\ln(x)))}{\ln(x)} - \frac{\ln(- \ln(\ln(x)))}{\ln(x) \, \ln(\ln(x))} \end {align} y \begin{align} \lim_{x \to 1} \, e^{- W_{-1}(-\ln(x))} &= \lim_{x \to 1} \frac{W_{-1}(- \ln(x))}{- \ln(x)} \to \frac{0}{0} \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{W'_{-1}(- \ln(x)) \, \left(- \frac{1}{x}\right)}{\left(- \frac{1}{x}\right)} \\ &= \lim_{x \to 1} \, W'_{-1}(- \ln(x)) \\ &= \lim_{x \to 1} \frac{1}{-\ln(x) + e^{W_{-1}(-\ln(x))}} = 1. \end {align}