Pintar las caras de un cubo con distintos colores

Question

No creo que esto se resuelva con el Lemma de Burnside ya que existe la condición de que cada lado esté pintado de un color diferente. La cuestión es la siguiente.

Si tuviera un cubo y seis colores, y pintara cada lado de un color diferente, ¿de cuántas maneras (diferentes) podría pintar el cubo? ¿Y si tuviera $n$ colores en lugar de 6?

La respuesta dada en un viejo hilo en un sitio diferente es $6!$ para la primera pregunta, y $n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)$ para la segunda pregunta. Sin embargo, esto no se sostiene porque algunos de los cuadros son isomorfos. El hilo original supone que podemos diferenciar de alguna manera dos cuadros que en realidad parecen idénticos si se gira el cubo, lo cual no creo que sea lo que pretendía la pregunta.

La respuesta que obtuve para la primera pregunta es $4! + 4 = 28$ . Pero esto fue sólo a través de un caso de golpe, y no estoy seguro de si es correcto o si se generaliza.

Answer 1

Caso $n=6$ : Colorea una cara con el color más feo y pon el cubo en una mesa con la cara fea hacia abajo. Hay $5$ opciones para el color en la parte superior. Para cada una de estas opciones, colorea el lado que te queda con el color más bonito. Los tres últimos lados se pueden colorear $3!$ formas, por lo que el número de coloraciones es $(5)(3!)$ .

Caso $n>6$ : Primero elija los colores, y luego utilizarlos. El número de colores es $$\binom{n}{6}(5)(3!).$$

Answer 2

Un cubo puede girar en $6 \times 4 = 24$ configuraciones (es decir, la cara roja puede ser cualquiera de las 6, y luego hay 4 formas de rotarla que mantienen esa cara roja), por lo que el número de coloraciones diferentes (contando las rotaciones, pero no los reflejos en el espejo, como la misma) es $6!/24 = 30$ .