Es $2^{218!} +1$ prime?

Question

Demostrar que $2^{218!} +1$ no es primo.

Puedo demostrar que el último dígito de este número es de $7$, y eso es todo.

Gracias.

Answer 1

$$218!=3n:\;\;\;2^{218!}+1=(2^{n}+1)(4^{n}-2^{n}+1)$$

Answer 2

Bien, $a^3+1=(a+1)(a^2-a+1)$, así que no es la primera, y hemos $$2^{218!}=(2^{2\cdot4\cdot5\cdot..\cdot 218})^3\,.$$

Answer 3

$x=1 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 5 \dots 218$

$2^{218!}+1 =2^{3x}+1=(2^{x}+1)(2^{2x}-2^{x}+1)$

Answer 4

Otro: $2^{2^{213}}+1\mid2^{218!}+1$ porque $218!=2^{213}\cdot k$ con $k$ impar.

Answer 5

Sugerencia de $\ $ Si $\rm\: k\:$ es impar entonces $\rm\:^n\!+\!1\mediados de los a^{nk}\!+\!1\ $ $\rm\ mod\ a^n\!+\!1\!:\ a^n\!\equiv -1\:\Rightarrow\:^{nk}\!\equiv (a^n)^k\!\equiv (-1)^k\equiv -1.\:$

O $ $ Teorema de Factor $\rm\:\Rightarrow\: x\!-\!c\mid x^k\!-\!c^k\: $ en $\rm\:\Bbb Z[x],\:$ entonces $\rm\:c=-1\:\Rightarrow\: x\!+\!1\mid x^k\!+\!1,\:$ por lo tanto la evaluación en $\rm\:x = a^n\:$ produce $\rm\:^n\!+\!1\mediados de los a^{nk}\!+\!1\:$ en $\,\Bbb Z.\:$ Mus esta entero de la divisibilidad de los resultados es un caso especial de un polinomio de divisibilidad resultado. Los factores de esta forma se denominan a veces algebraicas factores.

Similar al ejemplo anterior, a menudo el número de identidades son más lúcida considerarse como casos especiales de la función o el polinomio de identidades. $ $ Ejemplo, $ $ Aurifeuille, Le Lasseur y Lucas $ $ descubrió los llamados Aurifeuillian factorizations de cyclotomic polinomios $\rm\;\Phi_n(x)\, =\, C_n(x)^2\! - n\, x\, D_n(x)^2\;$. Estas juegan un papel en la factorización de enteros de la forma $\rm\; b^n \pm 1\:$, cf. el Cunningham Proyecto. A continuación son algunos de los ejemplos de tales factorizations.

$$\begin{eqnarray} \rm x^4 + 2^2 &=\,&\rm (x^2 + 2x + 2)\;(x^2 - 2x + 2) \\\\ \rm \frac{x^6 + 3^3}{x^2 + 3} &=\,&\rm (x^2 + 3x + 3)\;(x^2 - 3x + 3) \\\\ \rm \frac{x^{10} - 5^5}{x^2 - 5} &=\,&\rm (x^4 + 5x^3 + 15x^2 + 25x + 25)\;(x^4 - 5x^3 + 15x^2 - 25x + 25) \\\\ \rm \frac{x^{12} + 6^6}{x^4 + 36} &=\,&\rm (x^4 + 6x^3 + 18x^2 + 36x + 36)\;(x^4 - 6x^3 + 18x^2 - 36x + 36) \\\\ \end{eqnarray}$$

Para más información sobre este y otros temas relacionados ver a Sam Wagstaff la introducción a la Cunningham Proyecto.