Si$A$ es una matriz$m \times n$, pruebe que$Ax=0$ tiene soluciones infinitas$iff$$\text{rank}(A)<n$%

Question

Demuestre que$Ax=0$ tiene soluciones infinitas si y solo si$ \text{rank}(A)<n$

Aquí hay una forma de mi prueba, pero no sé cómo probar la otra parte.

Deje que$r$ sea el rango de$A$. Entonces $ r\leq n$. Si$ r<n$, entonces hay$n-r$ soluciones linealmente independientes. Además, cualquier combinación lineal de estas soluciones también será una solución de$Ax=0$. Por lo tanto, en este caso, la ecuación$Ax=0$ tiene un número infinito de soluciones

Answer 1

La clave (ya que$A \lambda x = \lambda Ax$) es observar que$Ax = 0$ tiene infinitas soluciones si y solo si$Ax = 0$ tiene una solución distinta de cero.

Observe que$Ax$ es una combinación lineal de las columnas de$A$, por lo que$Ax = 0$ tiene una solución distinta de cero si y solo si las columnas de$A$ son linealmente dependientes.

¿Puedes relacionar esto con el rango de la matriz?

Answer 2

Tu prueba es correcta.

Para la otra parte, puede usar el teorema de nulidad de rango:$$\ker{A}+\text{rank}\,A=n$ $

Answer 3

Si$Ax=0$ tiene dos soluciones distintas$x_0$ y$x_1$, entonces$A$ no puede tener un rango completo de columna porque$A(x_0-x_1)=0$ con$x_0-x_1\neq 0$. A la inversa, si$A$ no tiene rango de columna completo, entonces hay$x_0\neq 0$ de modo que$Ax_0=0$ y, por lo tanto, la solución establecida en$Ax=0$ debe ser infinita, ya que contiene el conjunto infinito $\{\alpha x_0:\alpha\in\mathbb{R}\}$. Esto demuestra que $$ Ax = 0 \ text {tiene 2 soluciones distintas} \ iff A \ text {no tiene rango de columna completo} \\\ iff Ax = 0 \ text {que tiene infinitas soluciones distintas.} $$

Answer 4

Por el contrario. Supongamos que $\text{rank}(A)=n$. A continuación, el $n$ columnas de la matriz son linealmente independientes. Y como el rango de la transpuesta de a $A$ si es igual al rango de $A$, usted tiene $n$ líneas que son linealmente independientes. WLOG usted puede suponer que esas son las $n$ primera.

Entonces si $Ax = 0$ también tiene $Bx=0$ donde $B$ es la sub matriz de $A$ de los que tomaron la primera $n$ líneas. $B$ es invertible, por lo tanto $x=0$ y la última $m-n$ ecuaciones son obviamente satisfecho. Por lo tanto la ecuación de $Ax=0$ tiene una única solución.