Encuentra$f(x)=?$ ecuación funcional

Question

Apreciaría si alguien pudiera ayudarme con el siguiente problema:

P: Encuentre$f(x)$ ($f'(x)$: función conti,$x \in\mathbb{R}$) $$ f (x) = \ sin ^ 2x + \ int_ {0} ^ {x} tf (t) dt $$

Answer 1

PS

Answer 2

Diferencie ambos lados wrt x para obtener$$f'(x)=2\sin(x)\cos(x)+xf(x)$ $ que es una EDO lineal en f (x). A continuación, utilice el método de factor de integración. Obtendrá f (x) hasta una integral en términos de x, pero no va a ser una antiderivada elemental.

Answer 3

Es básicamente un teorema fundamental del problema del cálculo. Estaba pensando que su única confusión probablemente sería cómo deshacerse de$t$. Recuerde que el teorema fundamental del cálculo dice que si$F(x)=\int_0^t f(t)dt$, entonces tenemos$F'(x)=f(x)$. Creo que ese es probablemente el único truco que necesitas usar. El resto de esta pregunta es solo la resolución de EDO estándar.

Por favor, no seleccione mi respuesta. Es solo para complementar otras respuestas.