particiones en un entero con algunas propiedades

Question

Deje $n,m,r\in\mathbb N$. Cómo decidir si tenemos una partición de $n$ $m$ partes admiting $r$ como una parte?

Me gustaría obtener una condición en $n,m,r$ a ser posible para conseguir esta partición y la manera de contar estas particiones.

Para intance, mediante la adopción de $n=5,m=3,r=3$, tenemos:

• todas las particiones de $n$ $m$ partes: $5=3+1+1=2+2+1$.
• todas las particiones de $n$ $m$ partes y $r$ como parte: $5=3+1+1$.

Para intance, mediante la adopción de $n=5,m=4,r=4$, tenemos:

• todas las particiones de $n$ $m$ partes: $5=2+1+1+1$.
• todas las particiones de $n$ $m$ partes y $r$ como parte: no tenemos uno.

Answer 1

Puede eliminar$r$ de$n$, pero aún debería poder distribuir el$n-r$ restante en$m-1$ partes. Puedes realizarlo solo si,

$n-r\geq m-1\implies n+1\geq m+r$

---

Puedes confirmarlo poniendo los valores de ambos ejemplos,

1. $5+1\geq 3+3\implies6\geq 6 $$\ \ \ \ \checkmark$
2. $5+1\geq 4+4\implies6\geq 8 $