¿Qué es

Question

¿Qué es$$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{n-x}{n+x}\right)^{n^2},$$ where $ x% #% 0$ is a real number. Mathematica tells me the limit is $ x% #% x$ when I put an exact value for $ f (n) = (nx) ^ {n ^ 2} $ in (Mathematica is inconclusive if I don't substitute for $ g (n) = (n + x) ^ {n ^ 2}$), but using $$ and $ $ y por la regla de L'Hopital tenemos$, then $ $

No estoy seguro de en qué creer: Mathematica o L'Hopital.

Answer 1

Creo que esto va a cero para$x$% positivo. Considere el registro de la expresión:

PS

Para$$n^2 \log{\left(\frac{1-(x/n)}{1+(x/n)}\right)} = n^2 \left[ \log{\left(1-\frac{x}{n}\right)}-\log{\left(1+\frac{x}{n}\right)}\right]$%, el valor de$x>0$ es pequeño en comparación con$x/n$, por lo que Taylor se expande y obtiene

PS

que claramente$1$ como$$n^2 \left ( -\frac{x}{n} - \frac{x}{n}\right) = -2 n x$. Tomando exponenciales,$\to -\infty$, en términos generales.

Para$n \to \infty$, esto diverge. Para$e^{-\infty} = 0$, el límite es$x<0$.

Answer 2

Ambos, y más.

Si $x=0$ el límite es trivialmente 1. De lo contrario, si $x>0$

$$ \left(\frac{n-x}{n+x}\right)^{n^2} = \left(\frac{n+x-2x}{n+x}\right)^{n^2} = \left(1 - \frac{2x}{n+x}\right)^{n^2} = \left(1 - \frac{1}{n/2x+1/2}\right)^{n^2} = \left(1 - \frac{1}{\bar n}\right)^{(\bar n-1/2)^24x^2} = \left(1 - \frac{1}{\bar n}\right)^{(\bar n^2 -\bar n +1/4)4x^2} $$

Dividir el término final de un producto (sobre la base de que $a^{b+c+d} = a^ba^ca^d$) el límite de $n\to\infty \iff \bar n \to \infty$ $0\cdot$(algo limitado) $= 0$. Otra manera de ver esto es teniendo en cuenta el exponente de a $\Theta(n^2)$.

Por último, si $x<0$ el límite es de $\infty$, dado que el término entre corchetes es $(1+\frac 1 {\bar n})$, cuando el límite es de $\bar n \to \infty$.

La base de estas observaciones es el límite de $1<e = \lim_{n\to\infty}(1+\frac 1 n)^n$, y palabras derivadas de la misma, como $(1-\frac 1n)^n\to\frac 1 e<1$, etc.

Answer 3

La forma interesante es $\left(\frac{n-x}{n+x}\right)^{n}$. El $n^2$ sólo los golpes de las cosas.

Tomando el registro, $n \ln \frac{n-x}{n+x} = n \ln \frac{1-x/n}{1+x/n} = n \big(\ln (1-x/n)- \ln(1+x/n)\big) $. El uso de $\ln(1+z) = z-z^2/2+z^3/3-z^4/4+...$ y $\ln(1-z) = -z-z^2/2-z^3/3-z^4/4+...$, y escribir $z$$x/n$, este es $n((-z-z^2/2-z^3/3-z^4/4+...)-(z-z^2/2+z^3/3-z^4/4+...)) = n(-2z-2z^3/3-...) =-2n(x/n+x^3/(3n^3)) =-2x-2x^3/(3n^2)-... $.

Por lo que $\left(\frac{n-x}{n+x}\right)^{n} =\exp(-2x-2x^3/(3n^2)-...) =\exp(-2x)exp( -2x^3/(3n^2)-...) =\exp(-2x)(1-2x^3/(3n^2) + O(1/n^4)) $.

Si utiliza el $n^2$, este se comporta como $\exp(-2xn)$ que $\to 0$ si $x > 0$ y $\to \infty$ si $x < 0$.

Answer 4

Usted quiere $\lim f(n)$. Tome los registros y simplifique: $$ \ ln f (n) = n ^ 2 \ ln \ left (\ frac {nx} {n + x} \ right) = n ^ 2 \ ln \ left (1 - \ frac {2x } {n + x} \ right) $$ y use la serie de Taylor $$ \ ln (1-x) = -x - \ frac {x ^ 2} {2} - \ frac {x ^ 3} {3} - \ ldots $$ para obtener $$ \ ln f (n) = -n ^ 2 \ left (\ frac {2x} {n + x} + \ frac {1} {2} \ left (\ frac {2x} {n + x} \ right) ^ 2 \ ldots \ right) \ to - \ infty $$ y así$f(n) \to 0$.

Answer 5

Si $x=0$ el límite es claramente $1$.

Deje $x$ ser positivo, y tenga en cuenta que nuestra expresión es igual a $$\left(\frac{(1-\frac{x}{n})^n}{(1+\frac{x}{n})^n} \right)^n.$$

La cosa dentro de la gran paréntesis tiene límite de $e^{-2x}$. Así que por lo suficientemente grande como $n$, es menor que, por ejemplo, $e^{-x}$. Por lo tanto para grandes suficientemente $n$, la cosa es $\lt e^{-nx}$. De ello se sigue que nuestro límite es $0$.

El argumento negativo $x$ es similar. Deje $y=-x$. La cosa dentro de la gran paréntesis tiene límite de $e^{2y}$, así que por lo suficientemente grande como $n$ es mayor que $e^y$. Así, el todo es mayor que $e^{ny}$, y por lo tanto el límite no existe, o, si se prefiere, se $\infty$.