Otra belleza escondida en un simple triángulo

Question

Círculo inscrito del triángulo $ABC$ toca los lados en los puntos $D,E,F$ . Reflexionar sobre los puntos $D,E,F$ con respecto a las bisectrices de los ángulos $Ax,By,Cz$ y denotar los nuevos puntos con $D',E',F'$ . Denote los puntos medios de los lados del triángulo con $D'',E'',F''$ .

Demostrar que las líneas $D'D'',E'E'',F'F''$ se reúnen en el punto $G$ que pertenece al círculo inscrito.

Es relativamente fácil demostrar que $D'D'',E'E'',F'F''$ Realmente estoy de acuerdo y puedo demostrarlo si es necesario. Sin embargo el hecho de que el punto de intersección $G$ también se encuentra en el círculo inscrito es algo que hace que este problema sea aún más interesante. Y más difícil - todavía no tengo esa parte de la solución.

Answer 1

Puede considerar que $D',E',F'$ se encuentran en el círculo mientras que $D'',E'',F''$ se encuentran en el círculo de nueve puntos de $ABC$ . Estos círculos son tangentes por el teorema de Feuerbach, por lo que si ya se ha demostrado que $D'D'',E'E'',F'F''$ son concurrentes, un candidato natural para su punto común es el perspector del incirculo y el círculo de nueve puntos, es decir, el Punto Feuerbach de $ABC$ . Les dejo que demuestren esta afirmación aprovechando las coordenadas trilineales/baricéntricas (lo cual es un enfoque largo, pero no tiene sentido) o argumentos más sutiles (como el hecho de que los lados de $D'E'F'$ y los lados de $D''E''F''$ son paralelos :) )

Buen problema, por cierto, ya que proporciona una construcción directa del punto de Feuerbach de un triángulo (alternativa a la intersección del incirculo con la semirrecta que une $I$ con el punto medio de $OH$ ). ¿Está tomada o inspirada en una pregunta de un concurso anterior?