Presentación de un subgrupo de un cociente

Question

Esto es probablemente elemental, pero sé que en la teoría de grupos el diablo está en los detalles, así que quiero comprobarlo. Supongamos que tengo un grupo finitamente generado $G$ y un subgrupo normal $U$ (si es que importa, en mi situación $G$ es un producto semidirecto de $U$ por algunos $H$ ). Sea $g_0,\dots,g_n$ sean los generadores de $G$ . Supongamos que conozco una presentación de $U$ y que $g_0 \not \in U$ (o incluso que $g_0 \in H$ ). Entonces, quiero encontrar una presentación de la imagen de $U$ en el cociente $G/\langle g_0\rangle$ .

Formalmente lo que busco es la intersección entre el cierre normal de $g_0$ y $U$ pero es difícil hacerlo explícito. Por otra parte, me parece que la única manera de que al tomar el cociente se puedan añadir relaciones es la siguiente: puesto que $U$ es normal, $g_0$ actúa sobre ella por conjugación, de modo que para $u\in U$ , dejemos que $w_u$ sea $g_0ug_0^{-1}$ escrito como una palabra en los generadores de $U$ . Entonces, tomando el cociente por $g_0$ obliga a que esta acción sea trivial, de ahí que se añada la relación $$w_u\equiv u$$

De hecho, creo que no hay otras relaciones nuevas, pero no he conseguido escribir una prueba rigurosa.

Answer 1

Usted escribió $G/\langle g_0 \rangle$ pero eso sólo tiene sentido si $\langle g_0 \rangle$ es un subgrupo normal de $G$ que no lo es en general. Es de suponer que se refiere a $G/\langle g_0^G \rangle$ donde $\langle g_0^G \rangle$ es el cierre normal de $g_0$ en $G$ .

Me temo que su conjetura no es cierta, incluso cuando $g_0$ se encuentra en un complemento $H$ de $U$ . Sea $G = S_4$ , dejemos que $U$ sea el subgrupo normal $\langle (1,2)(3,4), (1,3)(2,4) \rangle$ de orden 4, y sea $g_0 = (1,2)$ . Entonces $\langle g_0^G \rangle=G$ por lo que el cociente $G/\langle g_0^G \rangle$ es trivial. Pero si sólo se factorizan los elementos de $U$ el formulario $g_0 u g_0^{-1} u^{-1}$ de $U$ se obtiene un cociente de $U$ orden 2, porque el único elemento no trivial de $U$ de esa forma es $(1,2)(3,4)$ .

Su argumento sería correcto (creo) si $H = \langle g_0 \rangle$ es un complemento de $U$ en $G$ pero, en general, el nuevo relator $g_0=1$ puede dar lugar a nuevos denunciantes en $H$ que introducen nuevos relatores en $U$ .