Determinar todas las posibles $\phi$

Question

Deje $\phi: S_6 \to \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ ser un homomorphism. Explicar por qué la $[S_6,S_6]$, el colector de un subgrupo de $S_6$, es un subconjunto de ker($\phi$) y después de que determinar todas las posibles $\phi$.

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Para la primera parte, elegí un elemento aleatorio en el colector de un subgrupo $a^{-1}b^{-1}ab$. A partir de la definición de homomorphisms se sigue que:

$\phi(a^{-1}b^{-1}ab)=\phi(a^{-1})\phi(b^{-1})\phi(a)\phi(b)$

Desde $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ es abelian podemos reorganizar la anterior como sigue:

$\phi(a^{-1})\phi(a)\phi(b)\phi(b^{-1})=\phi(a^{-1}abb^{-1})=\phi(1_G)=1_H$

Que demuestra la inclusión.

Cuando se trata de la segunda parte llego totalmente atascado. Yo no estoy seguro de que estoy totalmente de entender la pregunta. ¿Cómo puedo hacer esto?

Answer 1

1) Debido a que $$S_6/\ker(\varphi)\cong \text{Rang}(\varphi)\leq \mathbb Z/6\mathbb Z,$$ y por lo tanto $S_6/\ker(\varphi)$ es abelian. Por lo tanto,$[S_6,S_6]\leq \ker(\varphi)$.

Observe que $[G,G]$ es el más pequeño grupo.t. $G/H$ es abelian. Por lo tanto, $G/H$ es abelian si y sólo si $[G,G]$ es un subgrupo de $H$.

2) Por el fondamental teorema del cociente grupo, $$\hat \varphi:S_6/\ker(\varphi)\longrightarrow \mathbb Z/6\mathbb Z$$ es bien definido y el único homomorphism s.t. $$\hat \varphi(x\ker\varphi)=\varphi(x).$$

Desde $S_6/\ker(\varphi)=\left<(123456)\ker\varphi\right>$ (por qué ?), tendrás que $\hat\varphi$ es sólo dependiendo $\hat\varphi((123456)\ker\varphi)$. Ahora, que finalmente se obtiene el resultado (y, por tanto, $\varphi$ sólo dependiendo $\varphi((123456))$). Al final, usted debe encontrar 2 homomorphism que se $$\varphi_1:(123456)\longmapsto 1$$ y $$\varphi_2:(123456)\longmapsto 5.$$

Por otra parte, usted tiene la trivial homomorphism (es decir, que enviar todo a $0$), y por lo tanto, usted tiene 3 homomorphisms.