medida de superficie bajo la métrica de superficie inducida

Question

Actualmente estoy leyendo un artículo sobre la ecuación de Euler incompresible, y no entiendo cómo se expande el elemento de superficie. Así que aquí viene la pregunta.

Dejemos que $\Omega$ sea una variedad riemanniana con métrica $g_{ab}$ y $N^{a}$ sea la unidad normal a $\partial\Omega$ . Sabemos que el elemento de volumen es $$ dV_{g}=(det(g))^{\frac{1}{2}}\,dV $$ donde $dV$ es el elemento de volumen bajo la media de Eucide. Ahora definimos la medida inducida $\gamma_{ab}=g_{ab}-N_{a}N_{b}$ en el espacio tangente a la frontera $\partial\Omega$ Entonces el autor afirma que $$ dS_{\gamma}=(det(g))^{\frac{1}{2}}(\sum_{n}N_{n}^{2})^{-\frac{1}{2}}\,dS $$ No tengo ni idea de cómo se obtiene la fórmula. Ya que, intuitivamente, el cambio de medida bajo diferentes métricas debería ser el cuadrado del determinante de la métrica y parece que no es el caso de la medida de la superficie inducida.

Answer 1

Dejemos que $(u,v)$ sea una base ortonormal (con respecto a $g$ ) para el espacio tangente en algún punto de $\partial M$ .

Entonces $$dS_{\gamma} = |u\times v|\,dS = (u\times v)\cdot \tilde{N}\,dS$$ donde $\tilde{N}$ es la normal, bajo la métrica euclidiana, a la superficie. $N$ y $\tilde{N}$ son paralelos; en particular $\tilde{N} = N/\|N\|$ . Por lo tanto, $$dS_{\gamma} = \frac{(u\times v)\cdot N}{\|N\|}\,dS = \frac{dV_g}{\|N\|dV}\,dS = \frac{\sqrt{\det g}}{{\|N\|}}\,dS.$$