son funciones continuas que mapa de medida cero a los conjuntos de medida cero conjuntos absolutamente continua?

Question

Deje $I$ sea un intervalo cerrado y $f:I\rightarrow \mathbb{R}$ ser una función continua que los mapas de medida cero conjuntos de conjuntos de medida cero.

Si $f$ es monótonamente creciente, $f$ debe ser absolutamente continuas.

Sin embargo, es la monotonía de la asunción necesario?

Existe una función continua de asignación de medida cero a los conjuntos de medida cero conjuntos, pero no absolutamente continua?

Answer 1

Hay un teorema que si una función es continua, acotada variación, y tiene la "Luzin N de la propiedad" (es decir, los mapas de medida cero conjuntos de conjuntos de medida cero), entonces es absolutamente continua. Una forma de obtener delimitada variación es asumir la monotonía, pero esta no es la única manera. Sin embargo, si usted no tiene variación acotada, entonces usted no tendrá continuidad absoluta. En particular:

$$f : [0,1] \to \mathbb{R},f(x)=\begin{cases} x \sin(1/x) & x \neq 0 \\ 0 & x=0 \end{cases}$$

es una función continua con la Luzin N de la propiedad que no es absolutamente continua. A ver que se puede simplemente enlazada su variación a continuación por $\sum_{k=0}^\infty |f(x_k)-f(x_{k-1})|$ donde $x_{-1}=1,x_k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+k \pi}$.