Es bien sabido que si $G$ es un grupo nilpotente, entonces todo subgrupo normal no trivial de $G$ tiene una intersección no trivial con $Z(G)$ . Me gustaría encontrar ejemplos de grupos finitos no ilpotentes $G$ de modo que todo subgrupo normal no trivial de $G$ se cruza con $Z(G)$ de forma no trivial. En particular, me interesan los ejemplos que tienen un orden pequeño. He comprobado algunos de los grupos conocidos de orden pequeño para ver si satisfacen la condición en cuestión, y los que he comprobado no lo hacen.
Respuesta
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El grupo $G={\rm SL}(2,3)$ de orden $24$ tiene esta propiedad y es probablemente el ejemplo más pequeño de este tipo. Tiene una estructura $Q_8.3$ con $4$ Sylow $3$ -subgrupos, y su centro tiene orden $2$ con $G/Z(G) \cong A_4$ . Sus únicos subgrupos normales son $1$ , $Z(G)$ , $Q_8$ y $G$ .
Grupos cuasi simples, como ${\rm SL}(2,q)$ para las primeras potencias de impar $q$ son ejemplos sin solución. Todos sus subgrupos normales propios son centrales.
