Acerca de Lusin la condición (N)

Question

Decimos que $f:[0,1]\to \mathbb{R}$ satisface Lusin la condición (N) proporcionado $$m(f(B))=0 \quad\mbox{whenever}\quad B\subseteq [0,1] \mbox{ with }m(B)=0$$ donde $m$ representa la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$.

He encontrado en aquí la siguiente definición.

Decimos que $f:[0,1]\to X$ satisface Lusin la condición (N) proporcionado $$\mathcal{H}^1(f(B))=0 \quad\mbox{whenever}\quad B\subseteq [0,1] \mbox{ with }m(B)=0$$ donde $X$ es un espacio métrico y $\mathcal{H}^1$ representa 1-dimensional medida de Hausdorff.

Lo que viene a mi mente es la de la posible formulación de condición (N) para la función de $f:[0,1]\to X$ pero esta vez nuestro $X$ es un Hausdorff localmente convexo espacio vectorial topológico. No sé si la fórmula existe. Si la fórmula existe, yo estaría muy agradecido si me puedes proporcionar una definición de ese tipo.

Answer 1

Lusin la condición (N) se refiere exclusivamente a la medida de estructura de espacio. Un medibles mapa de $f:X\to Y$ entre la medida de los espacios $X=(X,\Sigma_X,\mu_X)$ $Y=(Y,\Sigma_Y,\mu_Y)$ cumple la condición (N) si $$ \mu_X(B)=0\implies \mu_Y(f(B))=0\tag{N}$$

El resto no se refiere (N) a sí mismo, sino más bien la disponibilidad de medidas en nuestros espacios. En cualquier espacio métrico tenemos la familia de medidas de Hausdorff $\mathcal H^s$. Así que uno puede elegir (como los autores que citan hizo) para el uso de $\mathcal H^1$ sobre el destino de espacio cuando el dominio es una de las dimensiones. Probablemente el uso de $\mathcal H^n$ sobre el destino de espacio si el dominio se $n$-dimensional.

Si su localmente convexo espacio metrizable, puede utilizar una métrica para definir $\mathcal H^1$ y, por lo tanto, la propiedad (N). Sin embargo, la propiedad dependerá de la elección de la métrica, incluso si es necesario para ser la traducción-invariante. De hecho, si $d$ es una de esas métricas, de $d^{\alpha}$ es otro (por cualquier $\alpha\in (0,1)$). La medida de Hausdorff $\mathcal H^1$ con respecto al $d^\alpha$ es equivalente a la medida de Hausdorff $\mathcal H^{\alpha}$ con respecto al $d$. Esta medida es muy diferente de la $\mathcal H^{1}$ con respecto al $d$; los ideales de null conjuntos no son los mismos.

Conclusión: Si el objetivo del espacio carece de una canónica de la elección de una medida, no es canónica de la noción de condición (N) para los mapas en ella.