El uso de continuidad para demostrar la desigualdad en $\textbf{R}^n$

Question

Supongamos $f:\textbf{R}^n \rightarrow \textbf{R}^m$ es continua en a $a \in \textbf{R}^n$. Y para algunos $b \in \textbf{R}^m$, $|b-f(a)|=d>0$. Demostrar que

$(1).$$\exists r>0$ s.t. $|f(x)-b| \geq d/2$ todos los $x$ en el open de bola de $B_r(a)$.

$(2)$. Si $f(a) \ne 0$, $f(x) \ne 0$ todos los $x$ en un barrio de $a$.

Sé que cuando $(1)$ es validado, el resultado de $(2)$ sigue inmediatamente. Y el triángulo de la desigualdad es necesaria para demostrar el $(1)$.La dificultad para mí es que no sé cómo uso la continuidad en $\textbf{R}^n$.

Answer 1

Por la continuidad, para cada una de las $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|a-x|<\delta$ implica $|f(a)-f(x)|<\varepsilon$. Si usted toma $r$ $\delta$ correspondiente a $\varepsilon=d/2$, la desigualdad de triángulo terminará por usted.