¿Existe una secuencia?

Question

¿Existe una secuencia infinita de números enteros positivos $a_n$. Tal que $ ((n|a_n) | \forall n)$$\left(\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{a_n} =1\right)$ , lo que si se sustituye la 1 con un número real positivo r ?

si debilitamos $\left(\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{a_n} =1\right)$ $\left(\sum_{n\in S} \frac{1}{a_n} =1\right)$para algunos infinito subconjunto $S$ de productos naturales. Tenemos un ejemplo $S = (2^n |n\in \Bbb N)$$(a_n=n)$ , Podemos clasificar todos estos ejemplos? Hay infinitamente muchos?

Lo que si $S$ es finito? Tenemos el ejemplo $S=(2,3,6)$ $(a_n = n)$ es decir $\left(\frac 12 +\frac 13 +\frac 16 = 1\right)$ , Entonces, ¿qué son todos estos ejemplos? Ciertamente hay infinitamente muchos, como podemos multiplicar cada término de la suma finita $\left(\frac 12 +\frac 13 +\frac 16 \right)$ $\left(\frac 12\right)$ y añadir $\left(\frac 12\right)$ a 1, y repita el proceso.

¿Qué sucede si debilitamos $( (n|a_n ) |(\forall n))$ $( (n|a_n )| (\forall n>n_0))$algunos $n_0$?

Answer 1

¿Existe una secuencia infinita de números enteros positivos $a_n$ tal que $ ((n|a_n) | \forall n)$ $\left(\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{a_n} =1\right)$

$a_n = n(n+1)$.

si debilitamos $\left(\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{a_n} =1\right)$ $\left(\sum_{n\in S} \frac{1}{a_n} =1\right)$para algunos infinito subconjunto $S$ de productos naturales.

Una condición necesaria es que la suma de $1/n$ restringido a $S$ al menos $1$.

Al $S$ es finito el problema cae bajo el nombre de "Egipcio fracciones" y obtener más información se puede encontrar mediante la búsqueda en ese término.