Una pregunta interesante. Podemos empezar con: $$ \gamma = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n}\cdot[x^n]\frac{x}{\log(1-x)}=\sum_{n\geq 1}\frac{G_n}{n}. \tag{1}$$ Debido a los límites de Steffensen, sabemos que los coeficientes de Gregory $[x^n]\frac{x}{\log(1-x)}$ se comportan como $\frac{1}{n\log^2 n}$ por lo que podemos intentar aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz a $(1)$ de forma trivial, esperando obtener un límite superior ajustado. Eso nos lleva a:
$$ \gamma \leq \sqrt{\zeta(2)\cdot\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{e^{i\theta}}{\log(1-e^{i\theta})}+1\right)\left(\frac{e^{-i\theta}}{\log(1-e^{-i\theta})}+1\right)d\theta}$$ que se simplifica a:
$$ \gamma \leq \sqrt{\frac{\pi}{12}\left(2\pi+\int_{0}^{2\pi}\frac{d\theta}{\log(1-e^{i\theta})\log(1-e^{-i\theta})}\right)}\tag{2}$$ dependiendo de una interesante integral, pero dando un débil límite superior.
Tal vez el cálculo de la primera $N$ términos de $(1)$ y, a continuación, aplicando el enfoque CS anterior a $\sum_{n>N}(\ldots)$ es posible demostrar $\gamma<\frac{1}{\sqrt{3}}$ sin necesidad de tomar una enorme $N$ . Una alternativa más sencilla es:
$$ \gamma\leq \sum_{n=1}^{N}\frac{G_n}{n}+\sqrt{\left(\sum_{n>N}\frac{G_n}{n}\right)\left(\sum_{n>N}\frac{G_n}{n-1}\right)}\tag{3}$$ donde las series implicadas puede calcularse de forma explícita en términos de números racionales, $\log(\pi)$ y logaritmos de números naturales.
Tomando $N=12$ en $(3)$ nos encontramos con que: $$\large\scriptstyle\gamma\leq \frac{198023355301039}{345226033152000}+\sqrt{\left(-\frac{28800521569}{50295168000}+\gamma\right) \left(-\frac{54074871014009}{86306508288000}-\frac{\gamma}{2}+\frac{\log(2\pi)}{2}\right)}\tag{4}$$ de lo que se deduce que:
$$ \gamma \leq \color{red}{\frac{-18276128754997+172613016576000 \log(2\pi)}{517839049728000}}\tag{5}$$
y el lado derecho de $(5)$ es menor que $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .
