Deje $X$ ser un conjunto finito. Se define un functor de la categoría de (finitely generado) conmutativa monoids a la categoría de grupos de la siguiente manera :
$$\operatorname{Aut}(X):M\mapsto \operatorname{Aut}_M(M\times X) $$
donde $\operatorname{Aut}_M$ denota el grupo de $M$-equivariant automorfismos de un conjunto en el que $M$ actos (claramente, $M$ actúa en $M\times X$ por la multiplicación en el $M$ factor). Es este functor representable ?
La motivación
Este es un intento de comprender mejor (finito) establece como (finito) espacios vectoriales sobre "el campo con un elemento" $\mathbb F_1$, ya que en el caso de un campo de $k$, tenemos el correspondiente functor para un determinado espacio vectorial $E$ de finitely generado conmutativa $k$-álgebra para grupos:
$$\operatorname{GL}(E):R\mapsto \operatorname{Aut}_R(R\otimes_k E)$$
que es representado por el álgebra $$k[m_{11},\dots,m_{nn},t]/(t\cdot\operatorname{det}(M)-1)$$ donde $\operatorname{det}(M)$ es el habitual de la matriz de determinante, que es un polinomio de expresión en el $m_{ij}$'s.
Lo que yo he probado hasta ahora
Para $M$ un conmutativa f.g. monoid, hay un isomorfismo natural $$\operatorname{Aut}_M(M\times X) \simeq \operatorname{Hom}(X,M^\times)\times \operatorname{Aut}(X)$$ donde $M^\times$ es el grupo de invertible elementos de $M$. Esto viene del hecho de que si $\varphi$ $M$- automorphism de $M\times X$, entonces se define por sus imágenes en los pares de $(1,x)$ donde $1$ es el elemento neutro de $M$, $M$- equivariance, así que hay un mapa de $\mu:X \to M$ y un mapa de la $\sigma\in\operatorname{End}(X)$ tal que $$\varphi(m,x)=(m\cdot\mu(x),\sigma(x)).$$ El hecho de que $\varphi$ es un isomorfismo implica que $\mu$ tiene valores en $M^\times$ y $\sigma\in\operatorname{Aut}(X)$.
Sé que $M\mapsto\operatorname{Hom}(X,M^\times)$ es representable (por la libre abelian grupo generado por $X$). Sin embargo, estoy atascado en cómo lidiar con el $\operatorname{Aut}(X)$.
