cómo calcular el $H_2(S^{2}\times S^{1}\# S^{2}\times S^{1}\# S^{2}\times S^{1})$ ?

Question

Al avanzar en algunos cálculos, me encontré con el problema de la informática: $H_2(S^{2}\times S^{1}\# S^{2}\times S^{1}\# S^{2}\times S^{1})$.

He encontrado este Mayer-Vietoris secuencia de los cuales es:

$$0\to \widetilde{H_n}(M\# N)\to \widetilde{H_n}(M\vee N) \to \widetilde{H}_{n-1}(S^{n-1})\to \widetilde{H}_{n-1}(M\# N)\to \widetilde{H}_{n-1}(M\vee N) \to 0$$

esta secuencia es válida para n = 2? donde N y M son 3-manifolts cerrado y compacto.

alguien me puede dar alguna referencia bibliográfica para el cálculo de la homología de grupos conectados suma de 3-varieddes o n-variedades. Gracias.

Answer 1

Esta secuencia exacta que existe y es válido sólo para $n$ la dimensión de los colectores (determinado por el encolado de la esfera en la secuencia). Además de esto *no * es el Mayer Vietoris secuencia, pero en lugar de la larga secuencia exacta para el par $(M\#N, S^{n-1})$ (junto con el isomorfismo $H_*(A, B) =H_*A/B$ para buenos pares. Los ceros en su secuencia de surgir como la homología de grupos de la esfera.

En general, hay dos enfoques para el cálculo de conectado sumas. Uno es el de arriba y el otro es Mayer Vietoris para la partición en dos de los sumandos. Yo no sé una referencia ya que esto normalmente se deja como un ejercicio (una buena, usted debe tratar de usted mismo). Y tenga en cuenta que la respuesta depende de la orientability de los colectores!