Cómo encontrar el límite de $\dfrac{\ln(\ln(\frac{n}{n-1}))}{\ln(n)}$?

Question

¿Cómo encontrar

$$\lim_{n \to\infty} \dfrac{\ln(\ln(\frac{n}{n-1}))}{\ln(n)}$$

Sé que es $-1$, pero tuve que dibujarla.

Answer 1

Sugerencia: puede utilizar la regla de L'hospital dos veces.

Agregado: Si el uso de L'hospital de la regla dos veces se obtiene la expresión

$$ -\frac{n}{n-1}. $$

Otro enfoque:

$$ \dfrac{\ln(\ln(\frac{n}{n-1}))}{\ln(n)} = \dfrac{\ln(-\ln(1-\frac{1}{n}))}{\ln(n)}= \dfrac{\ln(-(-\frac{1}{n}-O(\frac{1}{n^2})))}{\ln(n)}\sim \frac{\ln(\frac{1}{n})}{\ln(n)}=-\frac{\ln(n)}{\ln(n)}=-1.$$

Tenga en cuenta que, en la anterior derivaciones, se utilizó la serie de Taylor de $$\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\dots\,,$$

y la siguiente propiedad de $\ln(x)$

$$ \ln(1/a) = -\ln(a). $$

Answer 2

Sugerencia:

¿Qué es $\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n-1}$ ?

Convertir la expresión en $\dfrac{\pm \infty}{\infty}$ formulario. Entonces usted tiene L'hoptial la regla.

Answer 3

Si $0\le x\le 1$,$x\ln 2 \le \ln(1+x)\le x$. (Esta desigualdad se sigue que $f(x)=\ln(1+x)$ es cóncava función.) Desde $x\mapsto \ln(1+x)$ es el fin-la conservación, así $$\frac{\ln\ln\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}{\ln n}\le \frac{\ln \frac{1}{n-1}}{\ln n}=-\frac{\ln (n-1)}{\ln n}$$ para todos los $n\in\mathbb{N}$ y $$\frac{\ln\ln\left(1+\frac{1}{n-1}\right)}{\ln n}\ge \frac{\ln \left( \frac{1}{n-1}\ln 2\right)}{\ln n}=-\frac{\ln (n-1)-\ln 2}{\ln n}$$ para todos los $n\in\mathbb{N}$. Por lo tanto $$-\frac{\ln (n-1)-\ln 2}{\ln n}\le \dfrac{\ln(\ln(\frac{n}{n-1}))}{\ln(n)} \le- \frac{\ln (n-1)}{\ln n}$$ y tome $n\to\infty$ a cada lado de la desigualdad, a continuación, obtenemos el resultado deseado.

Answer 4

Aquí es un enfoque diferente. Deje $n=e^m$ y la mirada en el límite de una $m\to\infty$. Usted obtener $$ \frac{\log\log\frac{e^m}{e^m-1}}{\log e^m}=\frac{\log\log\left(1+\frac{1}{e^m-1}\right)}{m} $$

Desde que claramente $\frac{1}{e^m-1}\to0$ puede utilizar la aproximación $\log(1+x)\approx x$. Entonces usted tiene $$ \frac{\log\left(\frac{1}{e^m-1}\right)}{m}=\frac{-\log(e^m-1)}{m}\approx\frac {m}{m}=-1 $$