Dejemos que $p: D \to B$ y $q: E \to B$ sean fibrados y dejemos que $f: D \to E$ sea un mapa tal que $q \circ f = p$ . Si $f$ es una equivalencia de homotopía, ¿se deduce necesariamente que $f$ es una equivalencia de fibra homotópica?
Respuesta
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Tsundoku
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Hay un resultado más general aquí. Supongamos que dado un diagrama conmutativo de mapas
$$\begin{matrix} D & \xrightarrow{f} & E \\ p \downarrow && \downarrow q \\ A & \xrightarrow{g}& B \end{matrix} $$ tal que $p,q$ son fibraciones y $f,g$ son equivalentes de homotopía. $k$ sea cualquier homotopía inversa de $g$ y que $H:gk \simeq 1: B \to B,\, K:kg \simeq 1: A \to A $ sean homotopías. Entonces hay una homotopía inversa $l$ de $f$ tal que $pl=kq$ y existe una homotopía $K': lf \simeq 1$ que cubre $K$ y una homotopía $H': fl \simeq 1$ que cubre una especie de "homotopía conjugada" $$K + k H(g \times 1) - K(kg \times 1) . $$ En particular, la pareja $(f,g)$ es una equivalencia de fibra homotópica. No es que si $A=B$ y $g=1$ entonces podemos tomar las homotopías $H,K$ para ser constante.
Este resultado, con una notación diferente, es el teorema 3.4 del documento
R. Brown y P.R.Heath, ``Coglueing homotopy equivalences'', Matemáticas. Z . 113 (1970) 313-362.
disponible aquí . El resultado principal del trabajo es el dual de un teorema de encolado para las equivalencias de homotopía demostrado en todas las ediciones de Topología y Groupoides , Capítulo 7.
