usos de la geometría de Riemann para preguntas no relacionadas con la geometría de Riemann

Question

Conjetura de Poincaré (cuya formulación no hacer uso de nociones de la geometría de Riemann: "Todo conecta, cerrado el 3-colector es homeomórficos a la 3-esfera") fue finalmente resultó usando consideraciones de la geometría de Riemann.

En Wikipedia (https://en.wikipedia.org/wiki/Riemannian_geometry) se encuentra una larga lista de resultados relacionados con la geometría de Riemann, sin embargo para estos resultados por lo general cualquiera de las hipótesis y la conclusión del teorema de utilizar nociones de la geometría de Riemann.

¿Qué otras preguntas, además de la conjetura de Poincaré, cuya formulación no se refieren a nociones de la geometría de Riemann, que se resolvieron aplicando, como uno de los medios, la geometría de Riemann consideraciones?

EDICIÓN he añadido la formulación de la conjetura de Poincaré después de un comentario que cuestionó la afirmación de que la conjetura de Poincaré no involucrar a la geometría de Riemann.

EDIT he probado a hacer la formulación de la pregunta, claro, y para limitar su ámbito de aplicación omitiendo el "metaconsiderations".

Answer 1

He aquí dos sugerencias:

1. Morse teoría es una herramienta central en el análisis de la estructura topológica de los colectores. Un paso clave en la teoría que estudia el flujo de gradiente de una función de Morse, que requiere una métrica de Riemann para definir.
2. Donaldson del teorema dice que si $M$ es un buen, simplemente conexa, compacta $4$-colector con relación a la intersección de la forma, entonces la intersección en forma de $M$ puede ser diagonlized sobre los enteros. Ya que muchos simplemente se conecta topológico $4$-colectores no diagonalizable definitiva intersección formas, esto lleva a la conclusión de que tal $4$-colectores no tienen liso estructuras. Esta puramente topológico teorema fue demostrado mediante el estudio del espacio de instantons en el colector, que requieren una métrica de Riemann para definir.

Answer 2

Aquí está un ejemplo simple: el grupo fundamental de la $\pi_1 S$ de un cerrado orientado a la superficie de la $S$ de género $\ge 2$ es una palabra hiperbólico grupo en el sentido de Gromov.

El esquema de la prueba que va de esta. $S$ tiene una métrica de Riemann de curvatura constante $-1$. Universal de cubrir el espacio es, por tanto, un completo, simplemente se conecta de Riemann de la superficie de curvatura constante $-1$. Cada espacio es isométrico para el plano hiperbólico $\mathbb{H}^2$. El grupo $\pi_1 S$ por lo tanto actúa en $\mathbb{H}^2$ por un cocompact, isométrica de la cubierta de la transformación de la acción. Por el teorema de Milnor y Svarc, el grupo $\pi_1 S$ con su (finitely generado) palabra métrica es cuasi-isométrico a $\mathbb{H}^2$. El espacio métrico $\mathbb{H}^2$ es un Gromov espacio hiperbólico. Gromov hyperbolicity es un cuasi-isometría invariante, y por lo tanto $\pi_1 S$ con su palabra métrica es un Gromov espacio hiperbólico. Por definición, esto significa que $\pi_1 S$ es la palabra hiperbólica.

De hecho, todo el estudio de la palabra hiperbólico grupos fue motivado por el estudio de la completa de Riemann colectores con el negativo de la sección transversal de la curvatura de la apartó de cero. Este estudio es una empresa de gran éxito que obtiene el grupo de teoría de análogos de teoremas sobre negativamente curva colectores.

Answer 3

Para 1, positiva masa teorema puede ser uno de los ejemplos. Aquí hay alguna información acerca positiva de masa teorema. Schoen y Yau utiliza la superficie mínima para probar el positivo a masa teorema, que originalmente es un problema en general de la relatividad de einstein.