Existencia de ángulo continua función $\theta:S^1\to\mathbb{R}$

Question

Deje $S^1\subseteq\mathbb{C}$ ser el círculo unidad y deje $U\subseteq S^1$ ser abierto. Cómo mostrar que existe una función continua $$\theta:U\to\mathbb{R}$$ tal que $$e^{i\theta(z)}=z$$ para todos los $z\in U$ si y sólo si $U\neq S^1$?

He sido capaz de mostrar el $\Rightarrow$ dirección pero no en la otra.

$(\Rightarrow)$ Si se trata de un continuo $\theta:S^1\to\mathbb{R}$ existe, entonces es inyectiva y por lo $\theta(S^1)$ es un subconjunto de a $\mathbb{R}$ que es homeomórficos a $S^1$. Ahora, $S^1$ es compacto y conectado para $\theta(S^1)$ es un intervalo cerrado $[a,b]$. Pero la eliminación de un punto de $[a,b]$ da dos componentes conectados, mientras que la eliminación de un punto de $S^1$ le da aún conectado a un espacio. Por lo tanto, $[a,b]\not\cong S^1$, lo $\theta$ no existe.

¿Cómo podría usted mostrar el $\Leftarrow$ dirección?

Edit: Este es un ejercicio de topología con no supone el conocimiento previo de análisis complejo. Tenga en cuenta que sólo tenemos que mostrar la continuidad de $\theta$ (no analiticidad). La pregunta es formulada en términos de números complejos por simplicidad de notación, pero es para ser interpretado en términos de subespacio de $\mathbb{R}^2$.

Answer 1

Realmente ha probado que la dirección difícil. La otra dirección es fácil: si $U$ no $S^1$, se echa de menos al menos un punto de $z\in S^1$. Sin pérdida de generalidad, este punto es $1=e^0$. A continuación, defina $\theta(e^{it})=t$ donde $0<t<2\pi$. Esta función es continua en cada punto de $S^1$ con la excepción de $1$.

Prueba Supongamos que $z_n=e^{i t_n}$ converge a $z=e^{it}\in S^1 -1$, pero que $t_n$ no concurre $t\in (0,2\pi)$. Desde $t_n\in (0,2\pi)$, $t_n$ debe tener un convergentes larga para algunos $t^*\in [0,2\pi]$ diferente de la $t$. Nota:$0<|t-t^*|<2\pi$. Desde $e^{iz}$ es continua, se debe tener ese $e^{i(t-t*)}=e^0=1$. Pero $z=2\pi$ es el menos real distinto de cero para que $e^{iz}=0$, por lo que hemos llegado a una contradicción.

Voy a dar una prueba de una relacionada con el hecho. Trate de ver si se puede modificar para demostrar lo que usted desea: supongamos $V$ es un subconjunto abierto de $\Bbb C$ $f$ es una rama del logaritmo en $U$. (Por definición, esta es una función continua $f:U\to \Bbb C$ que $e^{f(z)}=z$. Uno puede mostrar que esto garantiza $f$ (complejo) diferenciable.) A continuación,$S^1\not\subseteq V$.

Prueba Supongamos $S^1\subseteq V$. Desde $e^{f(z)}=z$, $f'(z)=1/z$. Pero, a continuación, $$0= \frac{1}{2\pi i}\int_{S^1} f'(z) dz = \frac{1}{2\pi i}\int_{S^1} \frac{dz}z=1$$

Tenga en cuenta que si usted tenía un mapa continuo $u:S^1\to\Bbb R$ que $e^{i u(z)}=z$, que sería capaz de definir $f:\Bbb C^\times \to\Bbb C$$f(z)=\log |z|+ u(z|z|^{-1})$. Este es continua, y daría una rama del logaritmo en todos los de $\Bbb C^\times$, que es un conjunto abierto que contiene a $S^1$.

Answer 2

Que $\theta (z)=\Im (\log z)$ $\log z$ Dónde está la rama que $0<\arg z<2\pi$. Esto debería funcionar a menos que me falta algo.

Answer 3

Para la otra dirección, tomar $z_0 \in \mathbb S^1\setminus U \not= \emptyset$. Entonces, para algunos $t_0 \in \mathbb R$ $$z_0 = e^{it_0}$ $Define $$\theta(z) :=\arg(z e^{-it_0}) + t_0$$where $\arg$ toma valores en $[0,2\pi)$. $\arg$ es discontinous en $1$, pero si $z\in U$ $z e^{-it_0} \not =1$ $\theta$ sea continua en $U$ y usted puede verificar fácilmente la condición.