Pesos versus raíces

Question

No estoy seguro de la diferencia entre los pesos y las raíces. Estoy en lo cierto al pensar que los pesos son los valores propios de la acción de la máxima toro en una determinada representación, y las raíces son los pesos que se producen cuando la máxima toro actúa sobre el álgebra de la Mentira a sí mismo bajo el medico adjunto de la representación?

Si tienes tiempo, lo que sería este aspecto para $\mathfrak{sl}_3\Bbb C$?

Answer 1

Ciertas representaciones de un (digamos, reductora) se encuentran álgebra se descompone en subespacios propios de la acción de un Cartan subalgebra $\mathfrak{h}$ (la Mentira de álgebra analógica de un máximo de toro). Por lo tanto, $\mathfrak{h}$ actúa sobre estos subespacios, llamado "peso espacios" a través de una forma lineal $\mathfrak{h} \to \mathbb{C}$ (si estás trabajando sobre los números complejos), es decir, un elemento del espacio dual $\mathfrak{h}^*$. Estos elementos de $\mathfrak{h}^*$ (que corresponde a un valor distinto de cero subespacios propios) son llamados los "pesos" de la representación. Entonces usted está exactamente correcto cuando dices que las "raíces" de una Mentira álgebra son los pesos de su acción sobre sí mismo a través de la adjoint representación. Así que las raíces son tipos especiales de pesos.