Hacer exactamente la misma cosa: "girar" el estado y, a continuación, medida a lo largo del eje de medición aparato pasa a medir. La única diferencia aquí es que la "rotación" no necesariamente corresponde a una rotación en el espacio como lo hace un verdadero giro.
Lo que sigue es una descripción detallada de cómo hacemos las rotaciones de un genérico 2 nivel de sistema.
Estas rotaciones, además de la medición a lo largo de un eje fijo, el rendimiento efectivo de las mediciones a lo largo de cualquier eje.
Ejemplo genérico
Considere la posibilidad de un oscilador armónico del sistema con $H=\hbar \omega_0(n + 1/2)$.
Supongamos que tenemos esta cosa a una fuerza externa
$$F(t) = F_d \cos(\omega t + \phi).$$
Probablemente sepas que si $\omega_d=\omega_0$, la conducción va a provocar que el sistema se someten a las transiciones entre los distintos estados.
Así, vamos a trabajar en el caso de $\omega_d = \omega_0$.
¿Cuál es el Hamiltoniano causada por esta fuerza?
El trabajo realizado por una fuerza es $\text{force}\times \text{distance}$ por lo que el Hamiltoniano plazo es
$$H_d = -F(t)x = -F_d \cos(\omega_0 + \phi) x$$
donde el signo menos se debe a que una fuerza externa señalado a la derecha significa que el sistema tiene menos energía potencial si se va a la derecha.
Podemos reescribir la posición del operador (véase cualquier libro de texto de introducción)
$$x = x_0(a + a^\dagger)$$
donde $x_0$ es una característica de la escala de longitud en el problema.
El uso de esta, la conducción de Hamilton se convierte en
$$H_d = -F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a + a^\dagger).$$
dando un total de Hamilton
$$H = \hbar \omega_0(n + 1/2) - F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a + a^\dagger) .$$
Esto es complicado, porque tenemos tanto la original de Hamilton $H_0$ y un tiempo dependiente de la $V(t)$.
Para solucionar esto vamos a ir a un marco giratorio.
El marco giratorio
Supongamos que tenemos un sistema con Hamilton
$$H = H_0 + V(t)$$
Hay varias alternativas, las "imágenes" que se pueden usar para simplificar el problema.
Usted probablemente ha oído hablar de la "Heisenberg imagen" y, quizás, la "interacción de la imagen".
Aquí se desarrolla una tercera imagen llamada el "marco giratorio".
Considerar el propagador de $H_0$
$$U_0(t) = \exp[-itH_0/\hbar] .$$
Si el tiempo dependiente de la $V(t)$ estaban ausentes, entonces el tiempo de evolución del sistema porque
$$|\Psi_0(t)\rangle = U_0(t)|\Psi(0)\rangle.$$
La idea de la rotación del marco es deshacer la parte de la evolución debido a $U_0$.
Definir un nuevo estado
$$|\Psi'(t)\rangle \equiv R(t) |\Psi_0(t)\rangle . $$
donde $R(t) \equiv U_0(t)^\dagger = \exp[itH_0/\hbar]$.
En otras palabras, $R$ deshace $U_0$.
Ahora vamos a seguir la evolución de esta nueva cosa
$$
\begin{align}
i\hbar d_t |\Psi'(t)\rangle
&= i\hbar d_t (R(t) |\Psi_0(t)\rangle) \\
&= i\hbar \dot{R}(t) |\Psi_0(t)\rangle + i\hbar R(t) d_t |\Psi_0(t)\rangle \\
&= i\hbar \dot{R}(t) R^\dagger(t)|\Psi'(t)\rangle + R(t)(H_0 + V(t))|\Psi_0(t)\rangle \\
&= [i\hbar (iH_0/\hbar)R(t)R^\dagger(t) + H_0 + R(t)V(t)R^\dagger(t) ] |\Psi'(t)\rangle \\
&= [R(t) V(t) R^\dagger(t)]|\Psi'(t)\rangle .
\end{align}
$$
Ahora tenemos una simple ecuación de Schrödinger, donde el efectivo "marco giratorio de Hamilton" es
$$H_r = R(t)V(t)R^\dagger(t).$$
El punto es que el original de Hamilton ha desaparecido por completo.
Esto deja sólo una vez dependiente de la parte que hace la vida un poco más fácil.
De vuelta al ejemplo
Hemos tenido
$$H = \hbar \omega_0(n + 1/2) - F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a + a^\dagger) .$$
Vamos a utilizar el tiempo independiente de la parte para hacer un marco giratorio.
La rotación de operador $R$ es
$$R(t) = \exp[i\omega_0t (n + 1/2)]$$
y el tiempo depedent parte de la Hamiltoniana es
$$V(t) = -F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a + a^\dagger).$$
Si se forma el marco giratorio de Hamilton que nos encontramos (no haciendo álgebra aquí) $R(t)aR^\dagger(t) = a e^{-i\omega_0 t}$, lo que conduce a
$$H_r = R(t)V(t)R^\dagger(t) = -F_d x_0 \cos(\omega_0 t + \phi) (a e^{-i\omega_0 t} + a^\dagger e^{i\omega_0 t}).$$
Si ahora usamos
$$\cos(\omega t + \phi) = \frac{1}{2} \left[ e^{i(\omega_0 t + \phi)} + e^{-i(\omega_0 t + \phi} \right]$$
tenemos
$$
H_r =
-\frac{F_d x_0}{2}
\left[
ae^{i\phi} + ae^{-i(2\omega_0 t + \phi)} + a^\daga e^{-i\phi} + a^\daga e^{i(2\omega_0 t + \phi)}
\right]
$$
Los dos depende del tiempo de términos oscilar en alta frecuencia y son abandonados en la llamada "rotación de onda aproximación".
Esto deja
$$
H_r =
-\frac{F_d x_0}{2}
\left[ ae^{i\phi} + a^\daga e^{-i\phi} \right] . \qquad (*)
$$
Ahora supongamos que nuestro sistema no muy un oscilador armónico, de modo que sólo la primera brecha de energía tiene una energía espaciado $\hbar \omega_0$.
En caso de que nuestro coche no está en resonancia con otros niveles y es una buena aproximación considerar sólo los dos niveles más bajos que están en resonancia con la unidad.
Si queremos truncar la $a$ $a^\dagger$ a los operadores de los dos niveles más bajos, se convierten en
$$a = \left( \begin{array}{cc} 0&1\\0&0 \end{array}\right) \qquad a^\dagger = \left( \begin{array}{cc} 0&0\\1&0 \end{array} \right).$$
Sustituyendo esto en $(*)$ da
$$
H_r =
-\frac{F_d x_0}{2} \left( \begin{array}{cc} 0 & e^{i\phi} \\ e^{-i\phi} & 0 \end{array} \right) = -\frac{F_d x_0}{2}(\cos(\phi)\sigma_x - \sin(\phi)\sigma_y).
$$
Esta es la clave del resultado.
Aquí vemos a $H_r$ a ser una rotación del estado en torno a un eje en el $xy$ plano.
El eje ángulo está determinado por $\phi$ cual fue la fase de nuestro viaje inicial de la señal.
Esto significa que mediante el control de la fase de nuestra fuerza, podemos girar el estado sobre cualquier eje en el $xy$ avión!
Por supuesto, excepto en el caso de un verdadero giro, esta "rotación" no es un giro real en el espacio 3D.
Se trata de una rotación en el espacio de Hilbert de las dos a nivel de sistema, que, como usted sabe, se parece a la superficie de una esfera (que se llama la "esfera de Bloch").
Hemos demostrado aquí cómo hacer rotaciones alrededor de la $x$ $y$ ejes en que el imaginario espacio esférico.
Con el fin de hacer rotaciones sobre el $z$ eje, que acaba de cambiar la energía de espaciado entre los niveles.
En este punto, apuesto a que usted puede calcular exactamente cómo funciona utilizando el formalismo presentado ya.
En el caso de los electrones de las transiciones entre los distintos orbitales atómicos, la física es tal y como se presenta aquí.
Generalmente la fuerza viene desde el campo eléctrico de un láser o un generador de RF que actúa sobre la carga del electrón.
Si la frecuencia del láser o del campo de RF es la que corresponde a uno de los electrones de las transiciones, es decir,$\omega_{\text{drive}} \approx \Delta E/\hbar$, entonces el marco giratorio argumento presentado aquí pasa a través de mostrar que el electrón se Rabi oscilar entre los dos niveles involucrados en la transición.
Tarea: calcular Explícitamente el propagador inducida por la $H_r$ hemos encontrado.
Nota: La rotación de onda aproximada es bueno siempre y cuando la frecuencia de rotación alrededor de la esfera de Bloch inducida por la unidad es menos de $|E_1 - E_2|/\hbar$.
