Espacio de Moduli de isogeny clases de curvas elípticas

Question

El sistema modular de la curva de $Y(1)$ clasifica las clases de isomorfismo de curvas elípticas, es decir, su $K$-puntos por cualquier campo $\mathbb Q\subseteq K\subseteq \mathbb C$ corresponden a través de la $j$-invariante a $\mathbb C$-clases de isomorfismo de curvas elípticas definidas sobre $K$.

Mi pregunta es: ¿qué pasa si uno quiere clasificar isogeny clases de curvas elípticas definidas sobre $K$? Existe un adecuado espacio de moduli para que? Es decir, hay una variedad algebraica $Y$ cuyas $K$-puntos corresponden functorially a $\mathbb C$-isogeny clases (o mejor aún, $K$- isogeny clases de curvas elípticas definidas sobre $K$?

Answer 1

Intuitivamente tal cosa no puede existir, incluso con nivel de estructura, ya que el "olvidar isomorfismo de clase y recordar sólo isogeny clase" mapa de la habitual espacio de moduli debe ser algebraicas, pero algebraica de mapa de curvas ha finito fibras, sino (sobre $\mathbb{C}$, por ejemplo) isogeny clases de no-isomorfo curvas son infinitas. Por supuesto, existe el problema de que el original del espacio de moduli es sólo una pila en el primer lugar, pero esta obstrucción se debe mantener incluso si se añade suficiente nivel de la estructura (para ambos espacios).

Para una prueba formal, tenga en cuenta que el automorphism grupo de un isogeny clase de curva elíptica es la misma que $$ (\text{End}(E) \otimes \mathbb{Q})^\times $$ (donde $E$ es cualquier representante). Esto siempre es al menos tan grande como $\mathbb{Q}^\times$. Si se agrega a nivel de estructura (en el sentido tradicional), y cambiar las reglas para que usted sólo identificar isogenous curvas cuando el isogenies a respetar el nivel de la estructura, sólo se puede obtener un cociente de un grupo finito, que todavía no trivial. No sé una prueba formal de que no se puede rigidify los módulos problema en algunos de forma más interesante (todo lo que trata de hacer se convierte en el estudio de isomorfismo clases de curvas elípticas con el nivel de la estructura, de nuevo).

Answer 2

Cuando tratamos de clasificar las curvas elípticas hasta isogeny, a continuación, utilizamos el sistema modular de curvas de $X_0(N)/\mathbb{Q}$, cuya no-cuspidal $K$-puntos racionales (para algunos el campo de número de $K$) clasificar triples $(E/K,E'/K,\phi/K)$ de curvas elípticas $E$ $E'$ definido a lo largo del $K$, junto con un isogeny $\phi:E\to E'$ definido a lo largo del $K$, con cíclico núcleo de tamaño $N$. En otras palabras, la no-cuspidal puntos en $X_0(N)$ clasificar a $N$-isogenies de curvas elípticas.

Por ejemplo, $X_0(11)$ tiene tres no cuspidal $\mathbb{Q}$-racional puntos, que corresponden a las tres únicas $11$-isogenies $121A1\to 121A2$, e $121C1\to 121C2$, e $121B1\to 121B2$, donde aquí estoy usando Cremona notación para etiquetar curvas elípticas. La curva de $X_0(11)$ por el camino en sí es elíptica, es la curva de $11A1$ con un modelo de $$y^2+y=x^3-x^2-10x-20.$$ El Mordell-Weil grupo de $X_0(11)(\mathbb{Q})$ es isomorfo a $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$, generado por el punto de $(16,60)$. Dos de las $5$-torsión puntos corresponden a las cúspides, mientras que los otros tres corresponden a la isogenies mencionados anteriormente.