Menos ordinal no en una contables modelo transitivo de ZFC

Question

Con frecuencia es útil tratar contables transitiva modelos M de ZFC, por ejemplo obligando a las construcciones.

La noción de ser un ordinal es absoluta para cualquier modelo transitivo, por lo que sin duda si ($\alpha$ es un ordinal)^M , a continuación, también se $\alpha$ es un ordinal. Por la misma razón, M contendrá sucesores de todos los ordinales.

Por otro lado, si M es contable, entonces M no puede contener cada contables ordinal; debe haber un mínimo de (contables) ordinal no en M.

Puede algo ser dicho acerca de este ordinal? ¿Tiene algún significado especial?

Answer 1

El menor ordinal no en cualquier modelo transitivo de ZFC también puede ser descrito como el supremum de las alturas de modelos transitivos de ZFC. Es natural de aquí a considerar la clase S, que consiste en todos los números ordinales λ para el que no es un modelo transitivo de ZFC de altura λ. Por lo tanto, el ordinal de su título, cuando existe, es simplemente el supremum de los contables de los miembros de S. Hay un número relativamente fácil observaciones:

• Si M es un modelo transitivo de ZFC, entonces también lo es de L^M, edificable universo como se ha construido dentro de M, y estos dos modelos tienen la misma altura. Así, uno podría equivalente a considerar sólo los modelos de ZFC + V = L.

• Es relativamente consistente con ZFC que S es vacía, es decir, que no existen modelos transitivos de ZFC. Por ejemplo, el menor elemento de S es el menos α tal que L_α es un modelo de ZFC. Esto a veces se llama el modelo de un mínimo de ZFC, aunque, por supuesto, se refiere a la mínima transitiva modelo. Está contenida como una subclase de todos los otros modelos transitivos de ZFC. El modelo mínimo no tiene transitiva modelos dentro de él, y por lo que cree que se vacía.

• El menor elemento de S (y muchos de los elementos posteriores) es Δ¹₂ definible en V. Esto es porque uno puede decir: un verdadero códigos que ordinales iff que los códigos de una ordenada relación y hay un modelo de ese tipo de orden por la satisfacción de que ningún menor ordinal es en S (Σ¹₂ propiedad), también el fib de cada bien fundada modelo de ZFC tiene ordinal altura de, al menos, el tipo de orden de el ordinal codificado por z (Π¹₂ propiedad).

• Si tiene cualquier innumerables elementos, entonces es acotada en ω₁. La razón es que si L_β satisface ZFC y β es incontable, entonces podemos formar cada vez más grandes contables primaria subestructuras de L_β, cuya Mostowski se derrumba, que dará lugar a cada vez más grandes contables ordinales S.

• En particular, si hay grandes cardenales, como un cardinal inaccesible, entonces va a tener muchos contables de los miembros.

• Si 0^# existe, entonces cada cardenal es un miembro de S. Esto es porque cuando 0^# existe, entonces cada cardenal κ es un L-indiscernible, y así L_κ es un modelo de ZFC. Por lo tanto, por debajo de los 0^#, el clase S contiene una clase adecuada club, y contiene un club en cada cardenal.

• S no está cerrado. Por ejemplo, el supremum de la primera ω muchos de los elementos de S no puede ser un miembro de S. La razón es que si α_n es el n^ésimo elemento de S, y λ = sup_n α_n, entonces no sería definible cofinal ω secuencia en L_λ, contrario a la Sustitución axioma.

• S contiene a los miembros de cada infinita de cardinalidad menor que la de su supremum. Si β es en S, entonces podemos formar primaria subestructuras de L_β de cualquier menor cardinalidad, y el Mostowski se derrumba de estas estructuras dan lugar a menor los números ordinales en S.

• Si β es cualquier elemento particular de la S, la podemos cortar el universo en beta y considere el modelo L_β. A continuación β, el modelo L_β calcula S mismo como lo hacemos nosotros. Por lo tanto, si β es un punto límite de S, entonces L_β va a creer que S es una clase adecuada. Si β es un sucesor de un elemento de S, entonces L_β se considera que S es acotado. De hecho, si β α es el^th elemento de S, entonces en cualquier caso, L_β cree que hay α muchos de los elementos de S.

• Si S es acotado, entonces podemos pasar a un forzando la extensión de V[G] que se derrumba cardenales, por lo que el supremum de S es ahora una contables ordinal. El forzamiento no afecta si L_α satisface ZFC, y por lo tanto no afecta a S.

Leyendo tu pregunta de nuevo, veo que tal vez deberías considerar la posibilidad de un fijo M, en lugar de dejar M variar a lo largo de todos los modelos transitivos. En este caso, usted va a querer ver a fina-propiedades estructurales de este ordinal. Por supuesto, que exhibe muchas de cierre de propiedades, ya que cualquier tipo de construcción, desde abajo, que puede llevarse a cabo en ZFC puede llevarse a cabo dentro de M, y por lo tanto no va a llegar hasta ht(M).