Aquí está mi Idea creo que estoy de alguna manera debe utilizar el hecho de que $K$ es un único subgrupo de orden $|K|$. Para probar esto. Creo que la prueba es que por cada automorphism de G ($\varphi$), $|\varphi(K)|=|K|$. Pero no estoy seguro de si eso es cierto, o si es la manera de demostrar que es cierto.
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Jeff
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Supongamos que $K\triangleleft G$, $(|K|,[G:K])=1$ y $H$ es un subgrupo de orden $|H|=|K|$. Deje $h\in H\setminus K$.
Desde $h$ no es la identidad, $|h|>1$ y se divide $|K|=|H|$. Ahora, veamos la imagen de $h$ $G/K$ por el natural surjection $\phi:G\rightarrow G/K$ (desde $K$ es normal). La imagen no es la identidad, ya que $h\not\in K$, lo $|\phi(h)|>1$. Por otra parte, $|\phi(h)|$ debe dividir $|h|$ (el que divide $|K|$) así como a $|G/K|=[G:K]$.
Esto es imposible, porque lo único positivo común divisor de a$|K|$$[G:K]$$1$, lo que no puede ser el fin de la $\phi(h)$.
La afirmación de que para cada automorphism $\varphi$ de $G$, $|\varphi(L)| = |L|$ es cierto para cada subgrupo $L$, debido a $\varphi$ es inyectiva. Eso no significa en general que $\varphi(L) = L$, aunque.
Para mostrar $K$ es el único subgrupo de orden $|K|$ con la hipótesis, vamos a $H$ ser otro subgrupo de $G$ con el fin de $|K|$. Desde $K$ es normal, $HK$ es un subgrupo y $|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|} = \frac{|K|^2}{|H \cap K|}$. Por lo tanto $|HK|$ divide $|K|^2$. Pero $|HK|$ también se divide $|G| = |K| |G:K|$. Desde $(|K|,|G:K|) = 1$, $|HK|$ debe dividir $|K|$ (żpor qué?). Pero $K$ está contenido en $HK$, lo $HK = K$, lo que significa que $H \subseteq K$. Pero $|H| = |K|$, lo $H = K$.
Ahora, se puede deducir que desde $\varphi(K)$ es también un subgrupo de orden $|K|$, debemos tener $\varphi(K) = K$; por lo tanto $K$ es característico.
user160110
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