Demostrar que $\prod_{n=2}^∞ \left( 1 - \frac{1}{n^4} \right) = \frac{e^π - e^{-π}}{8π}$

Question

La pregunta

Probar que: $$\prod_{n=2}^∞ \left( 1 - \frac{1}{n^4} \right) = \frac{e^π - e^{-π}}{8π}$$

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Lo he intentado

Sabiendo que: $$\sin(πz) = πz \prod_{n=1}^∞ \left( 1 - \frac{z^2}{n^2} \right)$$ la evaluación en $z=i$ da $$\frac{e^π - e^{-π}}{2i} = \sin(πi) = πi \prod_{n=1}^∞ \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)$$ así: $$\prod_{n=1}^∞ \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right) = \frac{e^π - e^{-π}}{2π}$$

Estoy pegado y no sabe cómo continuar, alguna ayuda?

Answer 1

$$\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n\geq 1}\left(1-\frac{z^2}{n^2}\right),\qquad \frac{\sinh(\pi z)}{\pi z}=\prod_{n\geq 1}\left(1+\frac{z^2}{n^2}\right)\tag{1}$$ dan: $$\frac{\sin(\pi z)\sinh(\pi z)}{\pi^2 z^2(1-z^4)}=\prod_{n\geq 2}\left(1-\frac{z^4}{n^4}\right)\tag{2}$$ por lo tanto, por considerar $\lim_{z\to 1}LHS$ tenemos: $$\prod_{n\geq 2}\left(1-\frac{1}{n^4}\right)=\frac{\sinh \pi}{4\pi} = \color{red}{\frac{e^\pi-e^{-\pi}}{8\pi}}\tag{3}$$ como quería.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\prod_{n=2}^{\infty} \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right) \to \frac{1}{2}$$

Esto es debido a que $$A_{n} =\prod_{k=2}^{n}\left(1-\frac{1}{n^2}\right) = \prod_{k=2}^{n} \frac{(k-1)(k+1)}{k^2} = \frac{n+1}{2n} \to \frac{1}{2}$$

Hemos utilizado $\displaystyle \left(1-\frac{1}{n^4}\right) = \left(1+\frac{1}{n^2}\right) \cdot \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$

Answer 3

Voy a reproducir la respuesta de @C. Dubussy solo se elimina: $$\prod_{n=2} \left( 1 - \frac{1}{n^4} \right) = \prod_{n=2}^∞ \left( 1 + \frac{1}{n^2}\right) \prod_{n=2}^∞ \left( 1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{\sin{iπ}}{iπ} \prod_{n=2}^∞ \frac{n-1}{n} \prod_{n=2}^∞ \frac{n+1}{n}$$

Y debido a que el último producto de da $\frac{1}{2}$, la tenemos!