Suponga que Q es un convexo central simétrica de la curva, cuya área es de $\displaystyle S$. El área de la máxima paralelogramo en el interior de Q es $\displaystyle S'$.
Cómo probar la conjetura de que $\displaystyle \frac{S'}{S} \ge \frac{2}{\pi}=0.6366\dots$?
Por ejemplo, Si Q es una elipse, $\displaystyle S'=2ab$, $\displaystyle S=\pi ab$. Si Q es un hexágono regular, $\displaystyle \frac{S'}{S}= \frac{2}{3}$.
Es trivial que $\displaystyle \frac{S'}{S} \ge \frac{1}{2}$, y sé cómo demostrar a $\displaystyle \frac{S'}{S} \ge \frac{4}{4+\pi}=0.56\dots$
De muchas razón, creo que esta conjetura es verdadera. Denotar MAPA="Máxima Área del Paralelogramo": Para cualquier $Q$ y cualquier dirección $\theta$, vamos a $P(Q,\theta)$ ser el área del MAPA que tiene una esquina en esta dirección. $S'=\max\{P(Q,\theta)\}$. Con el fin de hacer $\frac{S'}{S}$ más pequeño, necesitamos mantener el más grande de $\{P(Q,\theta)\}$ pequeña mientras que S es una constante. Elipse sólo mantiene a todos en $\{P(Q,\theta)\}$ promedio. Esto es muy especial, creo que no habrá otra curva tenga esta propiedad. Por otro lado, distribuir igualmente siempre conducen a la min-max en nuestro conocimiento.
Acerca de la $\frac{4}{4+\pi}$ límite inferior, la idea es la siguiente:
En primer lugar, el uso de polar de la función de $r(\theta)$ a describir la curva. La condición es que $r(a)r(b)\sin|a-b|\leq C$, y queremos obligado es $S=\int_{\theta}{r(\theta)}^2$.
Segundo, Sin pérdida de generalidad, suponemos $r(0)=r(90)=1,C=1$, y asumir la $Q$ está en el límite de $Z=\{(x,y)|-1\leq x,y\leq 1\}$.
Tercero, debemos de $a=r(\theta)$ $b=r(\theta+90)$ y encontrar un enlace para $(a^2+b^2)$ por Cauchy-la Desigualdad. y le dará un enlace para el área de $S$.
