Encontrar un discontinuo subvariedad

Question

Dado sub-variedad "$X\subset \mathbb{A}^{2k}$ de la dimensión de $k-1$, ¿cómo puedo encontrar una sub-variedad " $Y\subset \mathbb{A}^{2k}$ de la misma dimensión que es distinto a $X$?

Tal vez debo mencionar que he leído Kempf "variedades algebraicas' hasta el capítulo 5.

Answer 1

No tengo Kepf del libro, pero si por una variedad algebraica que significa un Zariski subconjunto cerrado del espacio afín (más de un algebraicamente cerrado de campo), entonces aquí es una manera de hacerlo.

Deje $X=\mathrm{Spec}(k[x_1,\cdots,x_{2k}]/I)$. Si $\dim(X)=k-1$, entonces usted puede encontrar una gran cantidad de subconjuntos cerrados de la dimensión 1 en $\mathbb{A}^{k+1}=\mathrm{Spec}(k[x_1,\cdots,x_{k+1}])$ cuya intersección con $X$ tiene dimensión en la mayoría de las $0$ (de hecho la mayoría de los irreductible $1$ dimensiones variedades va a ser así). Elija uno y llamarlo $Y$. Este será un subconjunto cerrado definido por polinomios $f_i(x_1,\cdots,x_{k+1})$. Tenga en cuenta que $Y\times \mathbb{A}^{k-1}$ es una variedad de dimensión $k$ $\mathbb{A}^{2k}$ cuya intersección con $X$ tiene dimensión en la mayoría de las $k-1$.

Deje $g_i$'s de ser los generadores de $I$ y denotan por $g$ su producto. Ahora se cruzan $Y\times \mathbb{A}^{k-1}$ con el codimension 1 subconjunto $\mathrm{Spec}(k[X]/(x_{k+2}g-1))$. La intersección tiene dimensión $k-1$, y no se cruzan $X$.