Encontrar una base para el conjunto de los polinomios de donde f(1)=f(-1)=0

Question

Tengo el espacio vectorial $V$ por encima que pertenece a $\mathbb{F}$, e $V$ es el conjunto de todos los polinomios que son de grado $3$.

$W= \{ p \in V | p(1)=p(-1)=0\}$

1.) Demostrar que W es un subespacio de $V$.

A.) Ok vamos a probar que el espacio no está vacío.

Tomemos $p(x)= 0$, y esto satisface la condición de $p(1)=p(-1)=0$

B.) Ahora que la suma de dos vectores en $W$ pertenecen a $V$

Vamos a tomar dos polinomios que satisfacen $W$ y demostrar que la suma de los mismos pertenece a $W$. Esto es bastante trivial, ya que no puedo ir a aumentar su grado de adición.

Tomemos $p_1(x)=x_1^3-x_1^2-x_1+1$$p_2(x)=x_2^3-x_2^2-x_2+1$.

La suma de los mismos pertenece a $V$.

Vamos a ver la multiplicación por un escalar $\lambda \in \mathbb{R} $(también bastante trivial):

$p(\lambda x)=\lambda x^3-\lambda x^2-\lambda x+1 = \lambda p(x)$

Ahora sobre la base de:

Mi proceso de pensamiento es que necesito encontrar una base que contiene al menos 4 componentes (desde $\mathbb{R}_3[x]$ contiene 4 componentes), y creo que no es correcto.

Hasta ahora tengo dos componentes:

B= $\{ (x^2-1),(x(x^2-1))\} $

Esto es donde estoy atascado y no puede ya encontrar polinomios que satisfacen el requisito.

TL;DR

1.) Es mi proceso de pensamiento para demostrar que $W$ es un subespacio de $V$ correcto?

2.) ¿Cómo puedo encontrar una base para $W$? Hay una forma más simple, mediante un sistema de ecuaciones en lugar de la fuerza bruta de ensayo y error?

Answer 1

Lo siento, pero su línea de pensamiento es bastante malo.

La parte B es el peor. Además de la utilización de $x_1$$x_2$, que ya es malo, usted no puede demostrar que el conjunto es cerrado bajo la adición al mostrar que la suma de dos elemento está en el conjunto. Usted necesita demostrar que para cualquier elección de polinomios $p,q\in W$, la suma de $p+q\in W$. De manera similar para el cierre con respecto a la multiplicación escalar.

Vamos a intentar un enfoque más sistemático.

Considere el espacio vectorial $V$ de los polinomios de grado en la mayoría de las $3$ (no *de grado $3$) con coeficientes reales.

Para $a\in\mathbb{R}$, considere la posibilidad de $W_a=\{p\in V: p(a)=0\}$. A continuación, $W_a$ es un subespacio de $V$. De hecho, el polinomio cero pertenece claramente a $W_a$. Por otra parte, si $p,q\in W_a$,$p(a)=0$$q(a)=0$; por lo tanto, si $r(x)=p(x)+q(x)$, tenemos $$ r(a)=p(a)+p(a)=0+0=0 $$ debido a la norma de las leyes de polinomios. Por último, si $\lambda\in\mathbb{R}$$s(x)=\lambda p(x)$, tenemos $$ s(a)=\lambda p(a)=0 $$ Por lo tanto,$p(x)+q(x)\in W_a$$\lambda p(x)\in W_a$.

Conjunto de se $W=W_1\cap W_{-1}$ e es un subespacio de ser la intersección de dos subespacios.

Con el fin de encontrar una base, se puede considerar lineal mapa $$ f\colon V\to\mathbb{R}^2,\qquad f(p)=\begin{bmatrix}p(1)\\p(-1)\end{bmatrix} $$ y aviso que $W=\ker f$. (Tenga en cuenta que la linealidad de este mapa es básicamente la misma que la prueba anterior).

Es fácil encontrar la matriz de $f$ con respecto a las bases canónicas en $V$ (es decir, $\{1,x,x^2,x^3\}$ e de $\mathbb{R}^2$. Es $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{bmatrix} $$ Un estándar de eliminación Gaussiana trae a la reducción escalonada $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ y el espacio nulo de la matriz tiene como base $$ \left\{ \begin{bmatrix}-1\\0\\1\\0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\-1\\0\\1\end{bmatrix} \right\} $$ Los polinomios de tener estas coordenadas con respecto a la norma base de la $x^2-1$$x^3-x$, por lo que una base para $W$ es $$ \{x^2-1,x^3-x\} $$ como fue tu intuición.

Answer 2

$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ $$\begin{aligned} p(1)&=a+b+c+d \\ p(-1)&=-a+b-c+d \end{aligned} $$ por lo $p(1)-p(-1)=0 $ $$ p(1)-p(-1)=a+b+c+d -(a+b-c+d)=2a+2c$$ 2-d plano como el x-eje y

su base de trabajo $\{x^2-1,x^3-x\}$ siento que el grado no como la forma de demostrarlo es un subespacio. No utilice lambda que significa grado de e-valor. He visto a un compañero obtener acoplado toda una calificación de letra para no usar la notación adecuada. También, cuando está cerrado bajo la adición utilizó un particlar este caso ¿cómo lo haría

Cerrado agregar $p,g\in W$ considera $h(x)=p(x)+g(x)$ $$ \begin{aligned} h(1)&=(p+g)(1)=p(1)+g(1)=0+0=0 \\ h(-1)&=(p+g)(-1)=p(-1)+g(-1)=0+0=0 \end{aligned}$$ por lo $$ h(1)=h(-1)=0$$

cerrado bajo escalar mult $ap(1)=a(0)=0$ $ap(-1)=a*0=0$ $ap(1)=ap(-1)=0$

por último espectáculo $0\in W$ el tratamiento de 0 como un poli $0(1)=0=0(-1)$

Answer 3

Su proceso de pensamiento es correcto, también a la derecha en la búsqueda de un base que tiene 2 elementos: el espacio de $W$ es de 2 dimensiones.

Usted puede mostrar esta escribiendo el elemento general $p = ax^3+bx^2+cx+d$ y el uso de $p(1)=0=p(-1)$, para obtener un sistema de ecuaciones lineales que producen la $a = -c, b = -d$, por lo que reescribir el espacio como $\{ax^3+bx^2-ax-b\}$ (abusando de la notación un poco).

Usted puede obtener una base mediante la sustitución de dos linealmente independientes pares para $(a, b)$ (y de hecho, el uso de $(1, 0)$ $(0, 1)$ rendimientos exactamente su base).

Answer 4

Si $W= \{ p \in V | p(1)=p(-1)=0\} $, a continuación, independiente de la grado de restricción de $V$, desde cada una de las $p$ es un polinomio, $p(x) =(x-1)(x+1)q(x) =(x^2-1)q(x) $, donde $q$ es un polinomio de grado $2$ menos de $p$.

Desde $\deg(p) = 3$ por la definición de $V$, entonces $\deg(q) = 1$, por lo que $p(x) =ax+b $ para algunos $a$$b$.

Ahora es fácil para probar que $W$ es un subespacio, desde que se desprende de el conjunto lineal de los polinomios de ser cerrado bajo la suma y la multiplicación por un escalar.