Finito de los Anillos, cuya estructura aditiva es isomorfo a $\mathbb{Z}/(n \mathbb{Z})$

Question

Estoy teniendo problemas para probar la siguiente conjetura: Si $R$ es un anillo con $1_R$ diferente de la $0_R$ s.t. su estructura aditiva es isomorfo a $\mathbb{Z}/(n \mathbb{Z})$ algunos $n$ debe $R$ siempre ser isomorfo al anillo de $\mathbb{Z}/(n \mathbb{Z})$ ? ¿Cómo podemos definir un anillo de isomorfismo con una adecuada multiplicación en $R$?

Answer 1

Sugerencia: Aplicar la ley distributiva. Desde cualquier $a,b\in R$ puede ser escrito como finito de sumas de $1_R$, ¿qué $ab$?

Edit: Para mostrar que $1_R$ genera el grupo, todo lo que necesitas hacer es mostrar que tiene el fin de $n$. Puesto que algunos de $a\in R$ orden $n$ (como la estructura aditiva es que de $\mathbb Z/(n\mathbb Z)$) tenemos $$0\neq a+\cdots+a=1_ra+\cdots+1_ra=(1_R+\cdots+1_R)a$$ whenever we are adding $m<n$ copies of $$, thus the order of $1_R$ cannot be less then $n$. Hence it must be$$ n.

Answer 2

Combine los siguientes datos generales:

Para cualquier anillo de $R$, el primer anillo (es decir, el sub-anillo generado por $1$) es isomorfo al cociente de $\mathbb Z$ por el aniquilador de $R$$\mathbb Z$.

Cualquier grupo cíclico $R$ es isomorfo al cociente de $\mathbb Z$ por el aniquilador de $R$$\mathbb Z$.

(Esto es para Mariano respuesta con palabras ligeramente diferentes.)

Answer 3

Si un anillo finito $R$ ha cíclico aditivo grupo, es conmutativa, se genera como un anillo de cualquier generador de aditivo grupo.

Ahora, si $n$ es el aditivo orden de $1_R$, luego de que el aditivo orden de cada elemento de $R$ divide $n$. De ello se deduce inmediatamente de esto que $1_R$ debe ser un aditivo generador. De ello se sigue que el único aditivo grupo homomorhism $\mathbb Z\to R$ que se asigna a $1_{\mathbb Z}$ $1_R$es surjective. Es fácil ver que es un mapa de los anillos, y entonces su conclusión deseada de la siguiente manera.