Teorema de Incompletitud de Gödel

Question

No estoy familiarizado con la teoría de los modelos. De hecho, sólo tuve mis primeros cursos de Lógica y Teoría de Conjuntos el semestre pasado. Pero aún así, hay una pregunta que me molesta, y podría ser bueno si alguien aquí podría darme una explicación que no requiera más que el fondo que tengo.

Si he entendido bien, un modelo (¿o una estructura?) es un conjunto $(D,v_i,f_i,P_i)$ , donde $D$ es el conjunto de elementos que reclamamos, $v$ son variables $f$ son funciones y $P$ son relaciones que obtienen $T$ de $F$ valor. Además, si lo entendí bien, la prueba de Gödel demostró que en ciertas estructuras la CH de Cantor es verdadera y en otras no.

Lo que no me queda claro: ¿la Hipótesis del Continuum no viene con una estructura determinada? Es decir, ¿no lo sabemos? $D= \mathbb R$ , $v_i$ puede obtener números reales, $f$ son todas las funciones matemáticas que $f_i \rightarrow OR$ donde $OR$ es el espacio de los ordinales (o cardinales si importa). Entonces, qué significa hablar de diferentes modelos cuando se refiere a la CH.

¿Puede alguien darme un ejemplo de un modelo en el que la CH sea cierta, y un modelo en el que la CH no sea cierta en el que los dos modelos sean relevantes para la pregunta?

Gracias Lior

Answer 1

En primer lugar, aclaremos algunas cosas.

Modelo de una teoría $T$ en la lengua $\cal L$ es, en primer lugar, una interpretación para la lengua, es decir, un par $(M,\Sigma)$ donde $M$ es un conjunto no vacío y $\Sigma$ es una función de interpretación. Es decir, para cada símbolo de función $f$ en la lengua, $\Sigma(f)$ es una función sobre $M$ y así sucesivamente. A continuación podemos definir la relación de satisfacción que nos dice qué sentencias de $\cal L$ son verdaderos en esta interpretación, y $M\models T$ si todas las frases de $T$ son verdaderos en $M$ .

El teorema de exhaustividad nos dice que $T$ puede demostrar $\varphi$ si y sólo si siempre que $M$ es un modelo de $T$ , $M\models\varphi$ . Así que la demostrabilidad, que es una relación sintáctica entre una teoría y una oración, es lo mismo que la implicación semántica (o lógica). Es importante señalar que esto es cierto para la lógica de primer orden, pero no necesariamente para otras lógicas (como la de segundo orden).

Si hay un modelo de $T\cup\{\varphi\}$ decimos que $\varphi$ es coherente con $T$ y si ambos $\varphi$ y su negación son consistentes con $T$ entonces ninguno de los dos es demostrable a partir de $T$ (y si ninguno de los dos es demostrable, entonces ambos son consistentes con $T$ ), en cuyo caso decimos que $\varphi$ es independiente de $T$ .

Finalmente. Gödel demuestra que $\sf CH$ es coherente con $\sf ZFC$ . Lo hizo demostrando que si tenemos un modelo de $\sf ZFC$ entonces podemos construir un modelo donde $\sf ZFC+CH$ es cierto. Paul Cohen, unos veinte años después impar, demostró que dado un modelo de $\sf ZFC+CH$ podemos construir un modelo de $\sf ZFC+\lnot CH$ . Por lo tanto, ambos $\sf CH$ y su negación son consistentes con el axioma de elección.

Ahora bien, Gödel también demostró el teorema de incompletitud, que esencialmente dice que una teoría con tales y tales propiedades debe tener al menos un enunciado que sea independiente de esa teoría. Estos enunciados son a menudo "enrevesados", están construidos de una manera que los hace explícitamente independientes. Pero una vez que uno es consciente, y se siente cómodo, con este fenómeno, es hora de zarpar y encontrar enunciados que sean orgánicos (es decir, que surjan directamente de las matemáticas, preguntas naturales que se hagan en el contexto adecuado) y que sean independientes.

La hipótesis del continuo es una afirmación de este tipo, si consideramos la teoría de primer orden $\sf ZFC$ . Nótese que el enunciado de la hipótesis del continuo no tiene nada que ver con los números reales, sólo con su cardinalidad. O mejor dicho, la cardinalidad del conjunto de potencias de los números enteros.

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Relacionado:

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