encontrar la forma general de la n-ésima derivada de f(x) = ln(1+x)

Question

Creo que me estoy haciendo de la manera correcta, pero no estoy seguro.

es $$(-1)^{n+1}n!(1+x)^{-n} ?$$

gracias chicos.

Answer 1

Así es como yo lo haría

$$f(x) = \ln(1+x)$$ $$f'(x) = \frac{1}{x+1}$$ $$f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2}$$ $$f'''(x) = (-1)(-2)\frac{1}{(x+1)^3}$$ $$f'^v(x) = (-1)(-2)(-3)\frac{1}{(x+1)^4}$$ $$f'^v(x) = (-1)^3\cdot \frac{3!}{(x+1)^4}$$ $$.....................$$ $$f'^n(x) = (-1)^{n-1}\cdot \frac{(n-1)!}{(x+1)^{n}}\forall n\ge 1$$