La evaluación de esta integral.

Question

¿Cuál es el resultado de esta integración, en una forma cerrada?

$ \int{\cos{ x }^2}dx $

Podemos decir $\int { cos\left( 2x \right) dx= } \frac { sin(x) }{ 2 } $

Así que ¿por qué no podemos decir $\int { cos({ x }^{ 2 })dx=\frac { sin({ x }^{ 2 }) }{ 2x } } $

Answer 1

Esto es (esencialmente, por definición, igual al $$\sqrt{\frac{\pi }{2}} C\left(\sqrt{\frac{2}{\pi }} x\right),$$ where $C$ representa el Fresnel coseno integral.

Answer 2

La razón por la que $\displaystyle \int\cos(x^2)\,dx\neq \frac{\sin(x^2)}{2x}+C$ porque

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin(x^2)}{2x}\right)=\frac{2x(\cos(x^2)\cdot 2x)-\sin(x^2)\cdot 2}{(2x^2)}\neq \cos(x^2),$$

que puede ser visto fácilmente por mirar a $x=0$.