Cómo evaluar este límite con números armónicos.
PS
dónde
PS
¿Es el número armónico alternante ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Uno puede recordar la asymptotics de armónica de los números, como $ n \to \infty$, $$ H_n=\log n+\gamma+\frac1{2n}+\mathcal{S}\left(\frac1{n^2} \right) $$ y se puede observar que la $$ \widetilde{H_{n}}-\log 2=\sum_{j=1}^{n}\frac{\left ( -1 \right )^{j-1}}{j}-\log 2=(-1)^{n-1}\int_0^1\frac{t^n}{1+t}dt $$ Entonces, podemos escribir $$ \begin{align} &n\left [ \widetilde{H_{n}}-H_{2n}+H_n \right ] \\\\&=n\left [ \left(\widetilde{H_{n}}-\log 2\right)-\left(H_{2n}-\log (2n) \right)+\left(H_{n}-\log n \right)\right ] \\\\&=n\left [ (-1)^{n-1}\int_0^1\frac{t^n}{1+t}dt-\left(\gamma+\frac1{4n}+\mathcal{O}\left(\frac1{n^2} \right) \right)+\left(\gamma+\frac1{2n}+\mathcal{O}\left(\frac1{n^2} \right) \right)\right ] \\\\&=n (-1)^{n-1}\int_0^1\frac{t^n}{1+t}dt+\frac14+\mathcal{O}\left(\frac1{n} \right) . \end{align} $$ Ahora, integrando por partes, $$ \begin{align} n (-1)^{n-1}\int_0^1\frac{t^n}{1+t}dt&=\left. \frac{n (-1)^{n-1}t^{n+1}}{(n+1)}\frac{1}{1+t}\right|_0^1+\frac{n (-1)^{n-1}}{(n+1)}\int_0^1\frac{t^{n+1}}{(1+t)^2}\:dx\\\\ &=\frac12\frac{n}{n+1}(-1)^n+\mathcal{O}\left(\frac1{n} \right)\tag1 \end{align} $$ and, as $n \to \infty$,
$$ n\left [ \widetilde{H_{n}}-H_{2n}+H_n \right ]=\frac12\frac{n}{n+1}(-1)^n+\frac14+\mathcal{S}\left(\frac1{n} \right) $$
que no admite un límite.
Mandrathax
Puntos
17
Ok, a mí me parece que hay dos problemas diferentes aquí.
En un extremo : $n(-H_{2n}+H_n)$. Usted puede volver a escribir este uno como $-\sum_{i=1}^n\frac{1}{1+\frac{i}{n}}$, lo que es, cuando usted piensa de él, de una manera aproximada de la $-(\int_0^1\frac{1}{1+x} - 1)=1-\ln(2)$ (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sum).
Por otro lado, es conocido que, siendo una corriente alterna de la serie, $\tilde H_n$ converge hacia un número finito (no-cero) el número, ver http://pirate.shu.edu/~wachsmut/ira/numser/proofs/altharm.html por ejemplo.
por lo $n\tilde H_n$ tiene un límite infinito.
Así que en total $\lim_\infty n(\tilde H_n - H_{2n} + H_n)=\infty$
EDIT : OK para ver las otras respuestas me acaba de hav una ligera duda acerca de lo que entendemos por $H_{2n}$. El uso de la definición estándar ($H_n=\sum_{k=1}^n\frac 1 k$) debería ser$H_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}\frac 1 k$, pero a mí me parece que implican $\sum_{k=1}^{n}\frac 1 {2k}$
