Es bastante obvio que si$n\le m$, el grupo$\mathbb Z^n$ puede obtenerse como un cociente de$\mathbb Z^m$. Pero, ¿es también cierta la afirmación inversa? Es decir, si$\mathbb Z^n$ es un cociente de$\mathbb Z^m$, es$n\le m$? En ese caso, ¿hay una prueba fácil?
Respuestas
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Una base de $\mathbb{Z}^m$ $m$ elementos. Por lo tanto, cada cociente de $\mathbb{Z}^m$ es generado por $m$ (o menos) de los elementos. Si $\mathbb{Z}^n$ es un cociente de $\mathbb{Z}^m$, es generado por lo tanto, a la mayoría de los $m$ elementos. Y si $\mathbb{Z}^n$ es generado por $k$ elementos $\{a_1,\dotsc,a_k\}$, las imágenes $\{b_1,\dotsc,b_k\}$ de estos elementos en $Q = \mathbb{Z}^n/(2\mathbb{Z}^n)$ generar $Q$. Podemos ver $Q$ en forma natural como un espacio vectorial sobre $\mathbb{F}_2$, ya que cada elemento de a $Q\setminus \{0\}$ orden $2$. Por un lado, sabemos que $Q$ contiene $2^n$ elementos, por lo que la dimensión es $n$. Por otro lado, se genera como un grupo, por tanto, como una $\mathbb{F}_2$-espacio vectorial, por el $k$ elementos $\{b_1,\dotsc,b_k\}$, por lo tanto $n = \dim_{\mathbb{F}_2} Q \leqslant k$.
egreg
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Si tenemos un homomorfismo sobreyectivo$f\colon\mathbb{Z}^m\to\mathbb{Z}^n$, entonces este homomorfismo se divide, por lo que $$ \ mathbb {Z} ^ m \ cong \ ker f \ oplus \ mathbb {Z} ^ n. $$ Tensor con$\mathbb{Q}$ da $$ \ mathbb {Q} ^ m \ cong (\ ker f \ otimes \ mathbb {Q}) \ oplus \ mathbb {Q} ^ n $$ y por lo tanto$n\le m$.
