¿Por qué Desmos y W / A no trazan la gráfica correctamente para una función racional?

Question

He tenido esta pregunta para graficar esta fracción racional de la función:

$$y=\frac{x-2}{x^2-4}$$ Con asíntotas en $x=2,-2$

Ahora, yo lo hice de inmediato darse cuenta de que esto se podría simplificar a: $$y=\frac{1}{x+2}$$

Pero, cuando uno inmediatamente simplifica en esta forma, no perder una de las asíntotas en $x=2$?

Cuando fui a comprobar en línea, tanto en Desmo y WolframAlpha, ambos dieron este resultado (que no tiene la x=2 asíntota):

Esta es la forma en que yo pensaba que era correcto:

Además yo justifico por subbing en x = 2 en la fórmula original, que produce una división por cero caso.

Es posible que alguien me apunte en la dirección correcta o es Desmo/Wolfram falla aquí?

Answer 1

Deje $f(x)=\frac{x-2}{x^2-4}$. Vamos a demostrar que hay una asíntota en $x = -2$:

$$\lim_{x\to -2^+}f(x)=\lim_{x\to -2^+}\frac{x-2}{x^2-4} = \lim_{x\to -2^+}\frac{1}{x+2} = +\infty,$$

$$\lim_{x\to -2^-}f(x)=\lim_{x\to -2^-}\frac{x-2}{x^2-4} = \lim_{x\to -2^-}\frac{1}{x+2} = -\infty.$$

Sin embargo, no hay realmente ninguna asíntota en $x = 2$. Tu error está en que no se verifique el límite:

$$\lim_{x\to 2}f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{x-2}{x^2-4} = \lim_{x\to 2}\frac{1}{x+2} = \frac 14.$$

Como se puede ver, el límite no es $\pm\infty$, que sería necesaria para una asíntota. En realidad, $f$ puede ser extendida de forma continua:

$$g(x):=\begin{cases} f(x),& x\neq 2\\ \lim_{t\to 2}f(t),& x= 2\\ \end{casos}$$ and immediately it follows that $g(x) = \frac{1}{x+2}$.

Esto explica por qué la gráfica de $f$ se parece a la gráfica de $g$; la única diferencia es que uno debe ser borrado de la gráfica: $(2,\frac 14)$. Si desea enfatizar es, esta sería una manera de hacerlo:

Si quieres otro ejemplo, la función plot $x\mapsto \frac{\sin x}x$ y observar que no hay asíntota en $x = 0$.

Answer 2

Para complementar la excelente respuesta de Ennar, una razón menos formal por la que no hay una singularidad en$x = 2$ es que, aunque el denominador de la fracción$\frac{x-2}{x^2 - 4}$ es igual a cero allí, el numerador también lo hace. Esto significa que efectivamente tiene$\frac 0 0$ (que no está definido en lugar de ser igual a$\infty$), por lo que debe tomar el límite para calcular el valor de la función en$x=2$, y continuar como Ennar lo describe.