Pegado de lemma para conjuntos cerrados: Ejemplo de contraataque infinito

Question

El encolado lema de conjuntos cerrados estados:

Dado un número finito de una cubierta cerrada $\{A_i\}$ a de un espacio topológico $X$, junto con la continua mapas de $\{f_i : A_i \to Y\}$ en algún otro espacio topológico $Y$, no existe un único mapa continuo $f : X \to Y$ cuya restricción a cada una de las $A_i$ es igual a $f_i$.

Pregunta: ¿Qué es una buena y sencilla contra-ejemplo cuando el encolado lema falla en el caso de que $\{A_i\}$ es infinito, pero countably .

Mi intento: sólo he sido capaz de encontrar un tonto contra-ejemplo: supongamos $\{A_\alpha\}$ ser la colección de todos los puntos de $X = [0,1] \subset \mathbb{R}$, y deje $f_\alpha = 0$ todos los $\alpha$ a excepción de $\alpha = \alpha_0$, por lo que $A_{\alpha_0} = \{0\}$$f_{\alpha_0} = 1$.

Answer 1

Considere el espacio$X=\{0\}\cup\{1/n:n\in\mathbb N\}$ con la topología inducida por la inclusión$X\subseteq\mathbb R$. Elija cualquier función no continua$g:X\to\mathbb R$, considere la cobertura$\{A_i:i\in\mathbb N_0\}$ con$A_0=\{0\}$ y$A_n=\{1/n\}$ para cada$n\in\mathbb N$. Esta es una cobertura contable cerrada de$X$ - y defina las funciones$f_i=g|_{A_i}:A_i\to\mathbb R$, para cada$i\in\mathbb N_0$. Todos los$f_i$ son continuos, y no existe ninguna función continua$f:X\to\mathbb R$ tal que$f|_{A_i}=f_i$ para cada$i\in\mathbb N_0$.