Probabilidad de exactamente tres de una clase en una tirada de 5 dados

Question

La respuesta según el curso edx HarvardX: FC1x Fat Chance: Probability from the Ground Up

es$$\frac{6*5*5* \left(^5_2\right)}{6^5} =\frac{1500}{6^5}$$

The remaining two dice can be same say this is valid favourable outcome 4,4,4,5,5.

But according to my reasoning the probability is much more than that,

My reasoning:

6 options for 3 of a kind

5 options for 4th dice

4 options for 5th dice(let us consider only the cases where 4th and 5th dice are different, for sake of showing that even with excluding certain favourable outcomes, namely in which 4th and 5th dice are same, my probability is higher than the course answer.)

therefore total number of ways

$$ \frac{ 6*5*4*5!}{3!} = 2400$$

5! ways of arranging 5 items, divided by 3!, since 3 are of a kind.

$$ p=\frac{2400}{6^5} $ $

Lo que es mayor que la probabilidad calculada por el curso edx, y ni siquiera he considerado el caso cuando permitimos que los dados 4º y 5º tengan el mismo número.

¿Qué hay de malo con mi razonamiento?

Answer 1

Asumir los dados son distinguibles. Luego hay $6^5$ resultados posibles, ya que hay seis resultados posibles para cada uno de los cinco dados.

Tres de una clase: Hay $\binom{5}{3}$ formas para tres de los cinco dados a mostrar el mismo resultado y seis posibles resultados de los tres dados, se podría mostrar. Hay $\binom{5}{2}2!$ formas para que los dos restantes dados a mostrar dos de los otros cinco valores posibles (como hay $\binom{5}{2}$ maneras de seleccionar dos de los cinco restantes valores y $2!$ formas de organizar los valores en el resto de los dos dados), dando $$\binom{5}{3}\binom{6}{1}\binom{5}{2}2! = 1200$$ resultados favorables.

Por lo tanto, la probabilidad de que tres de una clase que se obtiene es
$$\Pr(\text{three of a kind}) = \frac{1200}{6^5}$$

Edit: Evidentemente, también se nos supone a considerar todos los casos en que exactamente tres de los dados muestran el mismo resultado, por lo que debemos añadir los resultados de una casa completa.

Casa completa: Hay $\binom{5}{3}$ formas para tres de los cinco dados a mostrar el mismo resultado, y seis de los resultados de los dados, se podría mostrar. Hay cinco posibles resultados de los otros dos dados puede mostrar. Por lo tanto, hay $$\binom{5}{3}\binom{6}{1}\binom{5}{1} = 300$$ formas de obtener una casa llena. Por lo tanto, la probabilidad de obtener un full $$\frac{300}{6^5}$$

Total: La probabilidad de que exactamente tres de los dados muestran el mismo número es la suma de las probabilidades de los tres de una clase y de una casa, que los rendimientos de $$\frac{1200}{6^5} + \frac{300}{6^5} = \frac{1500}{6^5}$$ como la respuesta de los estados.

Verificación: sabemos que el número total de resultados es $6^5 = 7776$.

Todos diferentes: Hay $\binom{6}{5}$ formas de la selección de cinco de los diferentes resultados y $5!$ arreglos de los resultados de los dados. Por lo tanto, hay $$\binom{6}{5}5! = 720$$ formas de conseguir cinco números diferentes.

Un par: Hay $\binom{5}{2}$ maneras para dos de los dados muestran el mismo resultado y seis posibles resultados de los dos dados, se podría mostrar. Hay $\binom{5}{3}3!$ formas para que los tres restantes dados a mostrar tres de los cinco restantes valores. Por lo tanto, hay $$\binom{5}{2}\binom{6}{1}\binom{5}{3}3! = 3600$$ formas de conseguir un par.

Dos pares: Hay $\binom{6}{2}$ resultados posibles para las parejas. Hay $\binom{5}{2}$ maneras para dos de los cinco dados para mostrar el menor de los resultados y $\binom{3}{2}$ maneras para dos de los otros tres dados a mostrar el mayor de los resultados. Hay cuatro resultados posibles para el resto de morir. Por lo tanto, hay $$\binom{6}{2}\binom{5}{2}\binom{3}{2}\binom{4}{1} = 1800$$ maneras de obtener dos pares.

Tres de una clase: se demostró anteriormente que hay $1200$ maneras de obtener los tres de una clase.

Full house: Hemos demostrado anteriormente que hay $300$ formas de obtener una casa llena.

Cuatro de una clase: Hay $\binom{5}{4}$ formas para cuatro de los cinco dados a mostrar el mismo resultado, y seis de los resultados de los dados, se podría mostrar. Hay cinco posibles resultados para el resto de morir. Por lo tanto, hay $$\binom{5}{4}\binom{6}{1}\binom{5}{1} = 150$$ maneras de obtener cuatro de una clase.

Cinco de una clase: Todos los dados deben mostrar el mismo resultado. Hay seis posibles resultados. Por lo tanto, no se $6$ formas de obtener cinco de una clase.

Total: Los casos anteriores son mutuamente excluyentes y exhaustivas. Observar que $$720 + 3600 + 1800 + 1200 + 300 + 150 + 6 = 7776 = 6^5$$

Answer 2

Como se señaló en un comentario, el principal problema con su razonamiento es que estás overcounting las posibilidades de los dos restos de dados: por ejemplo, usted está contando los "tres $1$s y $2$ $3$" y "tres $1$s y $3$ $2$" entre los conjuntos de dados que pueden ser dispuestos en $\frac{5!}{3!}$ maneras... por lo tanto, la doble contabilización dispuestos casos como el de $[1,3,2,1,1]$. Para los casos en los que los dados son distintas (solo), es necesario dividir por $2$. Por lo que la probabilidad de tres-de-un-tipo con las dos sobrantes dados distinta es la mitad de lo que declaró: $\frac{6\cdot 5\cdot 4 \cdot 5!}{2\cdot 3!}=1200$ de los casos de $6^5$. Tres-de-un-tipo, además de un par conduce a $\frac{6\cdot 5\cdot 5!}{2!\cdot 3!}=300$ adicional de casos de $6^5$, para un total de probabilidad de $\frac{1500}{6^5}$.

Es más simple de resolver, sin distinguir entre las dos posibilidades para las sobras: hay ${{5}\choose{3}}=10$ formas de seleccionar los dados participar en los tres-de-un-tipo, $6$ las posibilidades de su valor, y $5^2$ posibilidades para los valores de las sobras, para un neto de la cuenta de $10\cdot6\cdot 5^2=1500$.