Calcule$\sum_{n\geq1}\frac{1}{\pi^2+n^2}$ expandiendo$e^{\pi x}$ en su serie de Fourier

Question

Calcular $$\sum_{n\geq1}\frac{1}{\pi^2+n^2}.$$

mediante la expansión de $e^{\pi x}$ en su serie de Fourier.

Así que calculé que

$$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{\pi x} e^{-inx} \ dx=\frac{\sinh{(\pi^2)}(-1)^n}{\pi(\pi-in)},$$

lo cual es correcto. Ahora,

$$f(x)=e^{\pi x}=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\frac{\sinh{(\pi^2)}(-1)^n}{\pi(\pi-in)}e^{inx}.$$

En $x=0$ hemos

$$1=\sum_{n\in{\mathbb{Z}}}\frac{\sinh{(\pi^2)}(-1)^n}{\pi(\pi-in)}=\frac{\sinh(\pi^2)}{\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{(-1)^n}{\pi-in}.$$

Tomando el caso de $n=0$ y dividir la suma por $n \rightarrow -n$ en uno de ellos podemos obtener

\begin{align} 1&=\frac{\sinh(\pi^2)}{\pi}\left(\frac{1}{\pi}+\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n}{\pi-in} + \sum_{n\geq1}\frac{(-1)^{-n}}{\pi+in}\right)\\ &=\frac{\sinh(\pi^2)}{\pi}\left(\frac{1}{\pi}+2\pi\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n}{\pi^2+n^2}\right). \end{align}

Así que casi tengo la suma deseada aquí, lo único que me molesta es el $(-1)^n$. ¿Cómo debo proceder?

Tenga en cuenta que yo no estoy interesado en soluciones alternativas. Ya sé que por lo menos 2 métodos.

Answer 1

Sólo para poner en una respuesta en lugar de en un comentario tengo que decir que estoy casi seguro de que el único, y lo más probable es que la intención manera es evaluar la serie en $x=\pi$, como se ha señalado por Semiclásica. Este es solo la única posibilidad de deshacerse de la $(-1)^n$ puesto que este factor no tiene nada que ver con la función original, pero más con la estructura subyacente de los Coeficientes de Fourier.

Un enfoque típico para encontrar oscilante de la serie, tal como la que deriva de la no-oscilante, es por tocar los buenos viejos par impar de cancelación juego de $($aquí similar se hace con la de Riemann Zeta Función y su pariente, el Dirichlet Eta Función de$)$. Sin embargo, la aplicación de este método para el problema dado, y haciendo caso omiso de los factores constantes por un momento, se obtiene el siguiente

$$\underbrace{\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^n}{\pi^2+n^2}}_{=S_1}=\underbrace{\sum_{n\ge1}\frac1{\pi^2+n^2}}_{=S}-\underbrace{2\sum_{n\ge1}\frac1{\pi^2+(2n)^2}}_{=S_2}$$

Nuestro principal objetivo es encontrar a $S$ wherease $S_1$ puede ser calculada por su fórmula. Lo que queda es encontrar una expresión para $S_2$. Y de aquí en adelante, no podemos obtener ninguna más por tomar sólo la Serie de Fourier de Expansión de $f(x)=e^{\pi x}$, al menos en lo que yo puedo decir. Uno podría utilizar la expansión de $F(x)=e^{ax}$, para un número real positivo $a$, en lugar y es muy divertido siguiendo este ansatz ya que está fuera de lo que yo creo que era la intención de esta pregunta. Computación $c_n$ para $F(x)$ obtenemos

$$F(x)=\frac{\sinh(a\pi)}\pi\sum_{n\in\mathbb Z}\frac{\color{red}{(-1)^n}}{a-in}e^{-inx}$$

Bueno, ahí está otra vez, la oscilación del signo menos. Sin embargo, tenga en cuenta que para $a=\frac\pi2$ somos realmente capaces de deducir una expresión para $S_2$; evaluando al $x=\pi$ ... Además seguramente estoy seguro de que esta es no es la esperada método, aunque funciona, despues de todo.

Larga historia corta: para lidiar con oscilante signos menos se hace fácilmente mediante la división de la suma en pares e impares partes, pero a veces se hace el problema aún más complicado de lo que realmente es.