Grupo infinito con el orden de subgrupo abeliano delimitado

Question

En la Teoría del grupo finito de Isaac, página 28, dice ：

Existen grupos infinitos en los que los subgrupos abelianos tienen un orden limitado.

No logro construir tal grupo. De hecho, solo puedo deducir que el orden de cada elemento está limitado por una constante, lo que me hace sentir difícil construir un ejemplo.

Espero una respuesta!

Answer 1

Para complementar Arturo respuesta:

Un famoso teorema de Tel. Hall es que cada infinita localmente finito grupo tiene una infinita abelian subgrupo.

Como consecuencia de ello, una infinita grupo cuyo abelian subgrupos finitos de delimitada orden, tiene una infinita finitely generado subgrupo, claramente compartir la misma propiedad. Es, en particular, de finito exponente. Así, no existe una aproximación a su pregunta.

Adian en 1979 resultó que por extraño $n\ge 665$ y todos los $m\ge 2$, la Burnside grupo $B(m,n)$ (libre grupo de exponente $n$ a $m$ generadores) es infinita y todos sus abelian subgrupos cíclicos (por lo tanto de orden $\le n$).

Tenga en cuenta también que finitely generado grupos finitos exponente puede tener infinitas abelian subgrupos: por ejemplo, si $G$ es infinito, finitely generado de exponente $n$ entonces $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})\wr G$ es finitely generado de exponente $pn$ y tiene una infinita abelian subgrupo de exponente $p$.

Answer 2

Tarski monstruos proporcionar ejemplos. Estos son (infinito) grupos de $G$ , en la que cada apropiado subgrupo $H$ es trivial, o cíclico de orden de una prima fija $p$. En particular, la única abelian subgrupos son de orden $1$ o $p$.

Estos grupos existen para cada suficientemente grande prime, como se muestra por Olshanski i. Son 2-generado, nonabelian, simple, y una rica fuente de todo tipo de contraejemplos.